Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16914 / 16914
↖ ↑ ↗
← S  5.812757°
E  5.822754°		 ← 1 215.29 m → S  5.812757°
E  5.833740°		 →
↑
1 215.33 m
↓
↑
1 215.33 m
↓
S  5.823687°
E  5.822754°		 ← 1 215.27 m →
1 476 972 m²		 S  5.823687°
E  5.833740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516189575195312 y=0.516189575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516189575195312 × 215)
    floor (0.516189575195312 × 32768)
    floor (16914.5)     		tx = 16914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516189575195312 × 215)
    floor (0.516189575195312 × 32768)
    floor (16914.5)     		ty = 16914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16914 / 16914 ti = "15/16914/16914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16914/16914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16914 ÷ 215
    16914 ÷ 32768     		x = 0.51617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16914 ÷ 215
    16914 ÷ 32768     		y = 0.51617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51617431640625 × 2 - 1) × π
    0.0323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10162623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.0323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.101626227194519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10162623} λ = 0.10162623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.101626227194519))-π/2
    2×atan(0.903367142645069)-π/2
    2×0.734672290017384-π/2
    1.46934458003477-1.57079632675     		φ = -0.10145175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10162623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10145175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.812757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16914 KachelY 16914 0.10162623 -0.10145175 5.822754 -5.812757
    Oben rechts KachelX + 1 16915 KachelY 16914 0.10181797 -0.10145175 5.833740 -5.812757
    Unten links KachelX 16914 KachelY + 1 16915 0.10162623 -0.10164251 5.822754 -5.823687
    Unten rechts KachelX + 1 16915 KachelY + 1 16915 0.10181797 -0.10164251 5.833740 -5.823687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10145175--0.10164251) × R
    0.000190760000000012 × 6371000     		dl = 1215.33196000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10145175--0.10164251) × R
    0.000190760000000012 × 6371000     		dr = 1215.33196000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10162623-0.10181797) × cos(-0.10145175) × R
    0.000191739999999996 × 0.994858183642027 × 6371000     		do = 1215.2944229059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10162623-0.10181797) × cos(-0.10164251) × R
    0.000191739999999996 × 0.994838845786311 × 6371000     		du = 1215.27080025436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10145175)-sin(-0.10164251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994858183642027-0.994838845786311)×R²
    abs(0.10181797-0.10162623)×1.93378557163948e-05×R²
    0.000191739999999996×1.93378557163948e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.93378557163948e-05×40589641000000     		ar = 1476971.80276454m²