Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17376 / 17376
↖ ↑ ↗
← S 10.833306°
E 10.898438°		 ← 1 199.87 m → S 10.833306°
E 10.909424°		 →
↑
1 199.85 m
↓
↑
1 199.85 m
↓
S 10.844097°
E 10.898438°		 ← 1 199.82 m →
1 439 635 m²		 S 10.844097°
E 10.909424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530288696289062 y=0.530288696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530288696289062 × 215)
    floor (0.530288696289062 × 32768)
    floor (17376.5)     		tx = 17376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530288696289062 × 215)
    floor (0.530288696289062 × 32768)
    floor (17376.5)     		ty = 17376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17376 / 17376 ti = "15/17376/17376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17376/17376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17376 ÷ 215
    17376 ÷ 32768     		x = 0.5302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17376 ÷ 215
    17376 ÷ 32768     		y = 0.5302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5302734375 × 2 - 1) × π
    0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5302734375 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.190213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19021362} λ = 0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190213617692383))-π/2
    2×atan(0.826782499708245)-π/2
    2×0.690859734254836-π/2
    1.38171946850967-1.57079632675     		φ = -0.18907686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18907686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.833306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17376 KachelY 17376 0.19021362 -0.18907686 10.898438 -10.833306
    Oben rechts KachelX + 1 17377 KachelY 17376 0.19040537 -0.18907686 10.909424 -10.833306
    Unten links KachelX 17376 KachelY + 1 17377 0.19021362 -0.18926519 10.898438 -10.844097
    Unten rechts KachelX + 1 17377 KachelY + 1 17377 0.19040537 -0.18926519 10.909424 -10.844097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18907686--0.18926519) × R
    0.000188329999999987 × 6371000     		dl = 1199.85042999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18907686--0.18926519) × R
    0.000188329999999987 × 6371000     		dr = 1199.85042999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19021362-0.19040537) × cos(-0.18907686) × R
    0.000191749999999991 × 0.982178159866999 × 6371000     		do = 1199.86739058624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19021362-0.19040537) × cos(-0.18926519) × R
    0.000191749999999991 × 0.982142745394912 × 6371000     		du = 1199.82412687712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18907686)-sin(-0.18926519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982178159866999-0.982142745394912)×R²
    abs(0.19040537-0.19021362)×3.54144720875471e-05×R²
    0.000191749999999991×3.54144720875471e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.54144720875471e-05×40589641000000     		ar = 1439635.45380308m²