Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17407 / 19455
↖ ↑ ↗
← S 31.942840°
E 11.239013°		 ← 1 036.65 m → S 31.942840°
E 11.250000°		 →
↑
1 036.56 m
↓
↑
1 036.56 m
↓
S 31.952162°
E 11.239013°		 ← 1 036.55 m →
1 074 501 m²		 S 31.952162°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531234741210938 y=0.593734741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531234741210938 × 215)
    floor (0.531234741210938 × 32768)
    floor (17407.5)     		tx = 17407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593734741210938 × 215)
    floor (0.593734741210938 × 32768)
    floor (19455.5)     		ty = 19455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17407 / 19455 ti = "15/17407/19455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17407/19455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17407 ÷ 215
    17407 ÷ 32768     		x = 0.531219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19455 ÷ 215
    19455 ÷ 32768     		y = 0.593719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531219482421875 × 2 - 1) × π
    0.06243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19615779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.18743896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.58885687493277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19615779} λ = 0.19615779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58885687493277))-π/2
    2×atan(0.554961312466591)-π/2
    2×0.506644298422618-π/2
    1.01328859684524-1.57079632675     		φ = -0.55750773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19615779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.239013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55750773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.942840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17407 KachelY 19455 0.19615779 -0.55750773 11.239013 -31.942840
    Oben rechts KachelX + 1 17408 KachelY 19455 0.19634954 -0.55750773 11.250000 -31.942840
    Unten links KachelX 17407 KachelY + 1 19456 0.19615779 -0.55767043 11.239013 -31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 17408 KachelY + 1 19456 0.19634954 -0.55767043 11.250000 -31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55750773--0.55767043) × R
    0.000162700000000071 × 6371000     		dl = 1036.56170000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55750773--0.55767043) × R
    0.000162700000000071 × 6371000     		dr = 1036.56170000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19615779-0.19634954) × cos(-0.55750773) × R
    0.000191749999999991 × 0.848576337745435 × 6371000     		do = 1036.65416081103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19615779-0.19634954) × cos(-0.55767043) × R
    0.000191749999999991 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 1036.54898817529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55750773)-sin(-0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848576337745435-0.848490246343458)×R²
    abs(0.19634954-0.19615779)×8.60914019772396e-05×R²
    0.000191749999999991×8.60914019772396e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.60914019772396e-05×40589641000000     		ar = 1074501.49264989m²