Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17408 / 17409
↖ ↑ ↗
← S 11.189179°
E 11.250000°		 ← 1 198.42 m → S 11.189179°
E 11.260986°		 →
↑
1 198.39 m
↓
↑
1 198.39 m
↓
S 11.199957°
E 11.250000°		 ← 1 198.37 m →
1 436 140 m²		 S 11.199957°
E 11.260986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531265258789062 y=0.531295776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531265258789062 × 215)
    floor (0.531265258789062 × 32768)
    floor (17408.5)     		tx = 17408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531295776367188 × 215)
    floor (0.531295776367188 × 32768)
    floor (17409.5)     		ty = 17409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17408 / 17409 ti = "15/17408/17409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17408/17409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17408 ÷ 215
    17408 ÷ 32768     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17409 ÷ 215
    17409 ÷ 32768     		y = 0.531280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.06256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.19654128844223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19654128844223))-π/2
    2×atan(0.821567409356447)-π/2
    2×0.687754151334542-π/2
    1.37550830266908-1.57079632675     		φ = -0.19528802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19528802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.189179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17408 KachelY 17409 0.19634954 -0.19528802 11.250000 -11.189179
    Oben rechts KachelX + 1 17409 KachelY 17409 0.19654129 -0.19528802 11.260986 -11.189179
    Unten links KachelX 17408 KachelY + 1 17410 0.19634954 -0.19547612 11.250000 -11.199957
    Unten rechts KachelX + 1 17409 KachelY + 1 17410 0.19654129 -0.19547612 11.260986 -11.199957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19528802--0.19547612) × R
    0.000188099999999997 × 6371000     		dl = 1198.38509999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19528802--0.19547612) × R
    0.000188099999999997 × 6371000     		dr = 1198.38509999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.19654129) × cos(-0.19528802) × R
    0.000191750000000018 × 0.980991820221289 × 6371000     		do = 1198.41811151139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.19654129) × cos(-0.19547612) × R
    0.000191750000000018 × 0.980955302233466 × 6371000     		du = 1198.37349970413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19528802)-sin(-0.19547612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980991820221289-0.980955302233466)×R²
    abs(0.19654129-0.19634954)×3.65179878235589e-05×R²
    0.000191750000000018×3.65179878235589e-05×6371000²
    0.000191750000000018×3.65179878235589e-05×40589641000000     		ar = 1436139.68157733m²