Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17409 / 17407
↖ ↑ ↗
← S 11.167624°
E 11.260986°		 ← 1 198.51 m → S 11.167624°
E 11.271973°		 →
↑
1 198.51 m
↓
↑
1 198.51 m
↓
S 11.178402°
E 11.260986°		 ← 1 198.46 m →
1 436 399 m²		 S 11.178402°
E 11.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531295776367188 y=0.531234741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531295776367188 × 215)
    floor (0.531295776367188 × 32768)
    floor (17409.5)     		tx = 17409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531234741210938 × 215)
    floor (0.531234741210938 × 32768)
    floor (17407.5)     		ty = 17407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17409 / 17407 ti = "15/17409/17407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17409/17407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17409 ÷ 215
    17409 ÷ 32768     		x = 0.531280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17407 ÷ 215
    17407 ÷ 32768     		y = 0.531219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531280517578125 × 2 - 1) × π
    0.06256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19654129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.06243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.19615779324527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19654129} λ = 0.19654129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19615779324527))-π/2
    2×atan(0.821882536933008)-π/2
    2×0.687942261154795-π/2
    1.37588452230959-1.57079632675     		φ = -0.19491180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19654129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.260986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19491180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.167624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17409 KachelY 17407 0.19654129 -0.19491180 11.260986 -11.167624
    Oben rechts KachelX + 1 17410 KachelY 17407 0.19673304 -0.19491180 11.271973 -11.167624
    Unten links KachelX 17409 KachelY + 1 17408 0.19654129 -0.19509992 11.260986 -11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 17410 KachelY + 1 17408 0.19673304 -0.19509992 11.271973 -11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19491180--0.19509992) × R
    0.000188120000000014 × 6371000     		dl = 1198.51252000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19491180--0.19509992) × R
    0.000188120000000014 × 6371000     		dr = 1198.51252000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19654129-0.19673304) × cos(-0.19491180) × R
    0.000191749999999991 × 0.981064755942036 × 6371000     		do = 1198.5072126504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19654129-0.19673304) × cos(-0.19509992) × R
    0.000191749999999991 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 1198.46268091651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19491180)-sin(-0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981064755942036-0.981028303500043)×R²
    abs(0.19673304-0.19654129)×3.64524419932399e-05×R²
    0.000191749999999991×3.64524419932399e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.64524419932399e-05×40589641000000     		ar = 1436399.21798768m²