Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17411 / 17413
↖ ↑ ↗
← S 11.232286°
E 11.282959°		 ← 1 198.24 m → S 11.232286°
E 11.293945°		 →
↑
1 198.19 m
↓
↑
1 198.19 m
↓
S 11.243062°
E 11.282959°		 ← 1 198.19 m →
1 435 696 m²		 S 11.243062°
E 11.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531356811523438 y=0.531417846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531356811523438 × 215)
    floor (0.531356811523438 × 32768)
    floor (17411.5)     		tx = 17411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531417846679688 × 215)
    floor (0.531417846679688 × 32768)
    floor (17413.5)     		ty = 17413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17411 / 17413 ti = "15/17411/17413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17411/17413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17411 ÷ 215
    17411 ÷ 32768     		x = 0.531341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17413 ÷ 215
    17413 ÷ 32768     		y = 0.531402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531341552734375 × 2 - 1) × π
    0.06268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19692478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.06280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.197308278836151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19692478} λ = 0.19692478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197308278836151))-π/2
    2×atan(0.820937516637224)-π/2
    2×0.687377973713694-π/2
    1.37475594742739-1.57079632675     		φ = -0.19604038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19692478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19604038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.232286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17411 KachelY 17413 0.19692478 -0.19604038 11.282959 -11.232286
    Oben rechts KachelX + 1 17412 KachelY 17413 0.19711653 -0.19604038 11.293945 -11.232286
    Unten links KachelX 17411 KachelY + 1 17414 0.19692478 -0.19622845 11.282959 -11.243062
    Unten rechts KachelX + 1 17412 KachelY + 1 17414 0.19711653 -0.19622845 11.293945 -11.243062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19604038--0.19622845) × R
    0.000188070000000012 × 6371000     		dl = 1198.19397000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19604038--0.19622845) × R
    0.000188070000000012 × 6371000     		dr = 1198.19397000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19692478-0.19711653) × cos(-0.19604038) × R
    0.000191750000000018 × 0.980845547819987 × 6371000     		do = 1198.23941940476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19692478-0.19711653) × cos(-0.19622845) × R
    0.000191750000000018 × 0.980808896865344 × 6371000     		du = 1198.19464516002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19604038)-sin(-0.19622845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980845547819987-0.980808896865344)×R²
    abs(0.19711653-0.19692478)×3.66509546432248e-05×R²
    0.000191750000000018×3.66509546432248e-05×6371000²
    0.000191750000000018×3.66509546432248e-05×40589641000000     		ar = 1435696.42706386m²