Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17412 / 17412
↖ ↑ ↗
← S 11.221510°
E 11.293945°		 ← 1 198.28 m → S 11.221510°
E 11.304932°		 →
↑
1 198.26 m
↓
↑
1 198.26 m
↓
S 11.232286°
E 11.293945°		 ← 1 198.24 m →
1 435 826 m²		 S 11.232286°
E 11.304932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531387329101562 y=0.531387329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531387329101562 × 215)
    floor (0.531387329101562 × 32768)
    floor (17412.5)     		tx = 17412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531387329101562 × 215)
    floor (0.531387329101562 × 32768)
    floor (17412.5)     		ty = 17412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17412 / 17412 ti = "15/17412/17412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17412/17412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17412 ÷ 215
    17412 ÷ 32768     		x = 0.5313720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17412 ÷ 215
    17412 ÷ 32768     		y = 0.5313720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5313720703125 × 2 - 1) × π
    0.062744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19711653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5313720703125 × 2 - 1) × π
    -0.062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.197116531237671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19711653} λ = 0.19711653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197116531237671))-π/2
    2×atan(0.821094944527269)-π/2
    2×0.687472012858457-π/2
    1.37494402571691-1.57079632675     		φ = -0.19585230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19711653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19585230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.221510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17412 KachelY 17412 0.19711653 -0.19585230 11.293945 -11.221510
    Oben rechts KachelX + 1 17413 KachelY 17412 0.19730828 -0.19585230 11.304932 -11.221510
    Unten links KachelX 17412 KachelY + 1 17413 0.19711653 -0.19604038 11.293945 -11.232286
    Unten rechts KachelX + 1 17413 KachelY + 1 17413 0.19730828 -0.19604038 11.304932 -11.232286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19585230--0.19604038) × R
    0.000188079999999979 × 6371000     		dl = 1198.25767999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19585230--0.19604038) × R
    0.000188079999999979 × 6371000     		dr = 1198.25767999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19711653-0.19730828) × cos(-0.19585230) × R
    0.000191749999999991 × 0.980882166027831 × 6371000     		do = 1198.28415364456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19711653-0.19730828) × cos(-0.19604038) × R
    0.000191749999999991 × 0.980845547819987 × 6371000     		du = 1198.23941940459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19585230)-sin(-0.19604038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980882166027831-0.980845547819987)×R²
    abs(0.19730828-0.19711653)×3.66182078438415e-05×R²
    0.000191749999999991×3.66182078438415e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.66182078438415e-05×40589641000000     		ar = 1435826.3925859m²