Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17424 / 17424
↖ ↑ ↗
← S 11.350797°
E 11.425781°		 ← 1 197.74 m → S 11.350797°
E 11.436768°		 →
↑
1 197.68 m
↓
↑
1 197.68 m
↓
S 11.361568°
E 11.425781°		 ← 1 197.70 m →
1 434 493 m²		 S 11.361568°
E 11.436768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531753540039062 y=0.531753540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531753540039062 × 215)
    floor (0.531753540039062 × 32768)
    floor (17424.5)     		tx = 17424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531753540039062 × 215)
    floor (0.531753540039062 × 32768)
    floor (17424.5)     		ty = 17424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17424 / 17424 ti = "15/17424/17424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17424/17424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17424 ÷ 215
    17424 ÷ 32768     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17424 ÷ 215
    17424 ÷ 32768     		y = 0.53173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    -0.0634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.199417502419434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199417502419434))-π/2
    2×atan(0.819207800686835)-π/2
    2×0.686343775635154-π/2
    1.37268755127031-1.57079632675     		φ = -0.19810878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19810878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.350797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17424 KachelY 17424 0.19941750 -0.19810878 11.425781 -11.350797
    Oben rechts KachelX + 1 17425 KachelY 17424 0.19960925 -0.19810878 11.436768 -11.350797
    Unten links KachelX 17424 KachelY + 1 17425 0.19941750 -0.19829677 11.425781 -11.361568
    Unten rechts KachelX + 1 17425 KachelY + 1 17425 0.19960925 -0.19829677 11.436768 -11.361568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19810878--0.19829677) × R
    0.000187989999999999 × 6371000     		dl = 1197.68428999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19810878--0.19829677) × R
    0.000187989999999999 × 6371000     		dr = 1197.68428999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.19960925) × cos(-0.19810878) × R
    0.000191749999999991 × 0.980440552321094 × 6371000     		do = 1197.74466100707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.19960925) × cos(-0.19829677) × R
    0.000191749999999991 × 0.980403535659406 × 6371000     		du = 1197.69944000025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19810878)-sin(-0.19829677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980440552321094-0.980403535659406)×R²
    abs(0.19960925-0.19941750)×3.70166616875389e-05×R²
    0.000191749999999991×3.70166616875389e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.70166616875389e-05×40589641000000     		ar = 1434492.88789954m²