Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17424 / 17456
↖ ↑ ↗
← S 11.695273°
E 11.425781°		 ← 1 196.28 m → S 11.695273°
E 11.436768°		 →
↑
1 196.22 m
↓
↑
1 196.22 m
↓
S 11.706031°
E 11.425781°		 ← 1 196.23 m →
1 430 982 m²		 S 11.706031°
E 11.436768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531753540039062 y=0.532730102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531753540039062 × 215)
    floor (0.531753540039062 × 32768)
    floor (17424.5)     		tx = 17424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532730102539062 × 215)
    floor (0.532730102539062 × 32768)
    floor (17456.5)     		ty = 17456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17424 / 17456 ti = "15/17424/17456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17424/17456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17424 ÷ 215
    17424 ÷ 32768     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17456 ÷ 215
    17456 ÷ 32768     		y = 0.53271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.205553425570801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.205553425570801))-π/2
    2×atan(0.814196594487351)-π/2
    2×0.683337655345285-π/2
    1.36667531069057-1.57079632675     		φ = -0.20412102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20412102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.695273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17424 KachelY 17456 0.19941750 -0.20412102 11.425781 -11.695273
    Oben rechts KachelX + 1 17425 KachelY 17456 0.19960925 -0.20412102 11.436768 -11.695273
    Unten links KachelX 17424 KachelY + 1 17457 0.19941750 -0.20430878 11.425781 -11.706031
    Unten rechts KachelX + 1 17425 KachelY + 1 17457 0.19960925 -0.20430878 11.436768 -11.706031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20412102--0.20430878) × R
    0.000187760000000009 × 6371000     		dl = 1196.21896000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20412102--0.20430878) × R
    0.000187760000000009 × 6371000     		dr = 1196.21896000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.19960925) × cos(-0.20412102) × R
    0.000191749999999991 × 0.979239537744585 × 6371000     		do = 1196.27745446058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.19960925) × cos(-0.20430878) × R
    0.000191749999999991 × 0.979201460310209 × 6371000     		du = 1196.23093757221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20412102)-sin(-0.20430878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979239537744585-0.979201460310209)×R²
    abs(0.19960925-0.19941750)×3.80774343752277e-05×R²
    0.000191749999999991×3.80774343752277e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.80774343752277e-05×40589641000000     		ar = 1430981.95445839m²