Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17471 / 17473
↖ ↑ ↗
← S 11.878102°
E 11.942139°		 ← 1 195.48 m → S 11.878102°
E 11.953125°		 →
↑
1 195.45 m
↓
↑
1 195.45 m
↓
S 11.888853°
E 11.942139°		 ← 1 195.43 m →
1 429 115 m²		 S 11.888853°
E 11.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533187866210938 y=0.533248901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533187866210938 × 215)
    floor (0.533187866210938 × 32768)
    floor (17471.5)     		tx = 17471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533248901367188 × 215)
    floor (0.533248901367188 × 32768)
    floor (17473.5)     		ty = 17473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17471 / 17473 ti = "15/17471/17473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17471/17473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17471 ÷ 215
    17471 ÷ 32768     		x = 0.533172607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17473 ÷ 215
    17473 ÷ 32768     		y = 0.533233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533172607421875 × 2 - 1) × π
    0.06634521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20842964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.06646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.208813134744965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20842964} λ = 0.20842964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.208813134744965))-π/2
    2×atan(0.811546871388339)-π/2
    2×0.681742167179351-π/2
    1.3634843343587-1.57079632675     		φ = -0.20731199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20842964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.942139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20731199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.878102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17471 KachelY 17473 0.20842964 -0.20731199 11.942139 -11.878102
    Oben rechts KachelX + 1 17472 KachelY 17473 0.20862139 -0.20731199 11.953125 -11.878102
    Unten links KachelX 17471 KachelY + 1 17474 0.20842964 -0.20749963 11.942139 -11.888853
    Unten rechts KachelX + 1 17472 KachelY + 1 17474 0.20862139 -0.20749963 11.953125 -11.888853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20731199--0.20749963) × R
    0.000187639999999989 × 6371000     		dl = 1195.45443999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20731199--0.20749963) × R
    0.000187639999999989 × 6371000     		dr = 1195.45443999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20842964-0.20862139) × cos(-0.20731199) × R
    0.000191749999999991 × 0.978587723015688 × 6371000     		do = 1195.48117200403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20842964-0.20862139) × cos(-0.20749963) × R
    0.000191749999999991 × 0.97854908381106 × 6371000     		du = 1195.43396883507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20731199)-sin(-0.20749963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978587723015688-0.97854908381106)×R²
    abs(0.20862139-0.20842964)×3.86392046283213e-05×R²
    0.000191749999999991×3.86392046283213e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.86392046283213e-05×40589641000000     		ar = 1429115.06458265m²