Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17474 / 17474
↖ ↑ ↗
← S 11.888853°
E 11.975098°		 ← 1 195.43 m → S 11.888853°
E 11.986084°		 →
↑
1 195.39 m
↓
↑
1 195.39 m
↓
S 11.899603°
E 11.975098°		 ← 1 195.39 m →
1 428 982 m²		 S 11.899603°
E 11.986084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533279418945312 y=0.533279418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533279418945312 × 215)
    floor (0.533279418945312 × 32768)
    floor (17474.5)     		tx = 17474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533279418945312 × 215)
    floor (0.533279418945312 × 32768)
    floor (17474.5)     		ty = 17474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17474 / 17474 ti = "15/17474/17474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17474/17474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17474 ÷ 215
    17474 ÷ 32768     		x = 0.53326416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17474 ÷ 215
    17474 ÷ 32768     		y = 0.53326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53326416015625 × 2 - 1) × π
    0.0665283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20900488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.0665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.209004882343445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20900488} λ = 0.20900488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.209004882343445))-π/2
    2×atan(0.811391274142872)-π/2
    2×0.681648348108467-π/2
    1.36329669621693-1.57079632675     		φ = -0.20749963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20900488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.975098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20749963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.888853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17474 KachelY 17474 0.20900488 -0.20749963 11.975098 -11.888853
    Oben rechts KachelX + 1 17475 KachelY 17474 0.20919663 -0.20749963 11.986084 -11.888853
    Unten links KachelX 17474 KachelY + 1 17475 0.20900488 -0.20768726 11.975098 -11.899603
    Unten rechts KachelX + 1 17475 KachelY + 1 17475 0.20919663 -0.20768726 11.986084 -11.899603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20749963--0.20768726) × R
    0.000187630000000022 × 6371000     		dl = 1195.39073000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20749963--0.20768726) × R
    0.000187630000000022 × 6371000     		dr = 1195.39073000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20900488-0.20919663) × cos(-0.20749963) × R
    0.000191749999999991 × 0.97854908381106 × 6371000     		do = 1195.43396883507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20900488-0.20919663) × cos(-0.20768726) × R
    0.000191749999999991 × 0.978510412214897 × 6371000     		du = 1195.38672609534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20749963)-sin(-0.20768726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97854908381106-0.978510412214897)×R²
    abs(0.20919663-0.20900488)×3.8671596163331e-05×R²
    0.000191749999999991×3.8671596163331e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.8671596163331e-05×40589641000000     		ar = 1428982.45209853m²