Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17480 / 17480
↖ ↑ ↗
← S 11.953349°
E 12.041016°		 ← 1 195.15 m → S 11.953349°
E 12.052002°		 →
↑
1 195.14 m
↓
↑
1 195.14 m
↓
S 11.964097°
E 12.041016°		 ← 1 195.10 m →
1 428 338 m²		 S 11.964097°
E 12.052002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533462524414062 y=0.533462524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533462524414062 × 215)
    floor (0.533462524414062 × 32768)
    floor (17480.5)     		tx = 17480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533462524414062 × 215)
    floor (0.533462524414062 × 32768)
    floor (17480.5)     		ty = 17480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17480 / 17480 ti = "15/17480/17480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17480/17480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17480 ÷ 215
    17480 ÷ 32768     		x = 0.533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17480 ÷ 215
    17480 ÷ 32768     		y = 0.533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533447265625 × 2 - 1) × π
    0.06689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21015537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.06689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.210155367934326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21015537} λ = 0.21015537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.210155367934326))-π/2
    2×atan(0.810458316953212)-π/2
    2×0.681085511620214-π/2
    1.36217102324043-1.57079632675     		φ = -0.20862530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21015537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.041016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20862530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.953349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17480 KachelY 17480 0.21015537 -0.20862530 12.041016 -11.953349
    Oben rechts KachelX + 1 17481 KachelY 17480 0.21034712 -0.20862530 12.052002 -11.953349
    Unten links KachelX 17480 KachelY + 1 17481 0.21015537 -0.20881289 12.041016 -11.964097
    Unten rechts KachelX + 1 17481 KachelY + 1 17481 0.21034712 -0.20881289 12.052002 -11.964097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20862530--0.20881289) × R
    0.000187589999999987 × 6371000     		dl = 1195.13588999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20862530--0.20881289) × R
    0.000187589999999987 × 6371000     		dr = 1195.13588999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21015537-0.21034712) × cos(-0.20862530) × R
    0.000191749999999991 × 0.978316560316897 × 6371000     		do = 1195.14990900805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21015537-0.21034712) × cos(-0.20881289) × R
    0.000191749999999991 × 0.978277690362486 × 6371000     		du = 1195.1024239461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20862530)-sin(-0.20881289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978316560316897-0.978277690362486)×R²
    abs(0.21034712-0.21015537)×3.88699544112692e-05×R²
    0.000191749999999991×3.88699544112692e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.88699544112692e-05×40589641000000     		ar = 1428338.17882335m²