Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17536 / 17535
↖ ↑ ↗
← S 12.543839°
E 12.656250°		 ← 1 192.48 m → S 12.543839°
E 12.667236°		 →
↑
1 192.46 m
↓
↑
1 192.46 m
↓
S 12.554564°
E 12.656250°		 ← 1 192.43 m →
1 421 954 m²		 S 12.554564°
E 12.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535171508789062 y=0.535140991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535171508789062 × 215)
    floor (0.535171508789062 × 32768)
    floor (17536.5)     		tx = 17536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.535140991210938 × 215)
    floor (0.535140991210938 × 32768)
    floor (17535.5)     		ty = 17535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17536 / 17535 ti = "15/17536/17535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17536/17535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17536 ÷ 215
    17536 ÷ 32768     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17535 ÷ 215
    17535 ÷ 32768     		y = 0.535125732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.535125732421875 × 2 - 1) × π
    -0.07025146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.220701485850739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.220701485850739))-π/2
    2×atan(0.801956039787282)-π/2
    2×0.67593251189147-π/2
    1.35186502378294-1.57079632675     		φ = -0.21893130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21893130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.543839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17536 KachelY 17535 0.22089323 -0.21893130 12.656250 -12.543839
    Oben rechts KachelX + 1 17537 KachelY 17535 0.22108498 -0.21893130 12.667236 -12.543839
    Unten links KachelX 17536 KachelY + 1 17536 0.22089323 -0.21911847 12.656250 -12.554564
    Unten rechts KachelX + 1 17537 KachelY + 1 17536 0.22108498 -0.21911847 12.667236 -12.554564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21893130--0.21911847) × R
    0.000187170000000014 × 6371000     		dl = 1192.46007000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21893130--0.21911847) × R
    0.000187170000000014 × 6371000     		dr = 1192.46007000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.22108498) × cos(-0.21893130) × R
    0.000191749999999991 × 0.976130113988604 × 6371000     		do = 1192.47886035539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.22108498) × cos(-0.21911847) × R
    0.000191749999999991 × 0.976089446082766 × 6371000     		du = 1192.42917884541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21893130)-sin(-0.21911847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976130113988604-0.976089446082766)×R²
    abs(0.22108498-0.22089323)×4.06679058385651e-05×R²
    0.000191749999999991×4.06679058385651e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.06679058385651e-05×40589641000000     		ar = 1421953.80783597m²