Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17538 / 17538
↖ ↑ ↗
← S 12.576010°
E 12.678223°		 ← 1 192.33 m → S 12.576010°
E 12.689209°		 →
↑
1 192.27 m
↓
↑
1 192.27 m
↓
S 12.586732°
E 12.678223°		 ← 1 192.28 m →
1 421 548 m²		 S 12.586732°
E 12.689209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535232543945312 y=0.535232543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535232543945312 × 215)
    floor (0.535232543945312 × 32768)
    floor (17538.5)     		tx = 17538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.535232543945312 × 215)
    floor (0.535232543945312 × 32768)
    floor (17538.5)     		ty = 17538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17538 / 17538 ti = "15/17538/17538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17538/17538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17538 ÷ 215
    17538 ÷ 32768     		x = 0.53521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17538 ÷ 215
    17538 ÷ 32768     		y = 0.53521728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53521728515625 × 2 - 1) × π
    0.0704345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22127673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53521728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0704345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.221276728646179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22127673} λ = 0.22127673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.221276728646179))-π/2
    2×atan(0.801494853013036)-π/2
    2×0.675651773536057-π/2
    1.35130354707211-1.57079632675     		φ = -0.21949278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22127673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21949278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.576010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17538 KachelY 17538 0.22127673 -0.21949278 12.678223 -12.576010
    Oben rechts KachelX + 1 17539 KachelY 17538 0.22146848 -0.21949278 12.689209 -12.576010
    Unten links KachelX 17538 KachelY + 1 17539 0.22127673 -0.21967992 12.678223 -12.586732
    Unten rechts KachelX + 1 17539 KachelY + 1 17539 0.22146848 -0.21967992 12.689209 -12.586732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21949278--0.21967992) × R
    0.000187140000000002 × 6371000     		dl = 1192.26894000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21949278--0.21967992) × R
    0.000187140000000002 × 6371000     		dr = 1192.26894000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22127673-0.22146848) × cos(-0.21949278) × R
    0.000191749999999991 × 0.976008014219674 × 6371000     		do = 1192.32969848525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22127673-0.22146848) × cos(-0.21967992) × R
    0.000191749999999991 × 0.975967250276233 × 6371000     		du = 1192.27989965196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21949278)-sin(-0.21967992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976008014219674-0.975967250276233)×R²
    abs(0.22146848-0.22127673)×4.07639434406581e-05×R²
    0.000191749999999991×4.07639434406581e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.07639434406581e-05×40589641000000     		ar = 1421547.9830912m²