Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17552 / 17552
↖ ↑ ↗
← S 12.726084°
E 12.832032°		 ← 1 191.57 m → S 12.726084°
E 12.843017°		 →
↑
1 191.63 m
↓
↑
1 191.63 m
↓
S 12.736801°
E 12.832032°		 ← 1 191.52 m →
1 419 879 m²		 S 12.736801°
E 12.843017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535659790039062 y=0.535659790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535659790039062 × 215)
    floor (0.535659790039062 × 32768)
    floor (17552.5)     		tx = 17552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.535659790039062 × 215)
    floor (0.535659790039062 × 32768)
    floor (17552.5)     		ty = 17552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17552 / 17552 ti = "15/17552/17552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17552/17552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17552 ÷ 215
    17552 ÷ 32768     		x = 0.53564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17552 ÷ 215
    17552 ÷ 32768     		y = 0.53564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53564453125 × 2 - 1) × π
    0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53564453125 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.223961195024902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22396120} λ = 0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.223961195024902))-π/2
    2×atan(0.799346152375072)-π/2
    2×0.674342127466524-π/2
    1.34868425493305-1.57079632675     		φ = -0.22211207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.22211207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.726084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17552 KachelY 17552 0.22396120 -0.22211207 12.832032 -12.726084
    Oben rechts KachelX + 1 17553 KachelY 17552 0.22415294 -0.22211207 12.843017 -12.726084
    Unten links KachelX 17552 KachelY + 1 17553 0.22396120 -0.22229911 12.832032 -12.736801
    Unten rechts KachelX + 1 17553 KachelY + 1 17553 0.22415294 -0.22229911 12.843017 -12.736801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.22211207--0.22229911) × R
    0.000187039999999999 × 6371000     		dl = 1191.63184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.22211207--0.22229911) × R
    0.000187039999999999 × 6371000     		dr = 1191.63184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22396120-0.22415294) × cos(-0.22211207) × R
    0.000191739999999996 × 0.975434356773038 × 6371000     		do = 1191.56675110955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22396120-0.22415294) × cos(-0.22229911) × R
    0.000191739999999996 × 0.975393136613562 × 6371000     		du = 1191.51639757098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.22211207)-sin(-0.22229911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975434356773038-0.975393136613562)×R²
    abs(0.22415294-0.22396120)×4.12201594759409e-05×R²
    0.000191739999999996×4.12201594759409e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.12201594759409e-05×40589641000000     		ar = 1419878.88280702m²