Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 176 / 177
↖ ↑ ↗
← S 56.559482°
E 67.500000°		 ← 86.170 km → S 56.559482°
E 68.906250°		 →
↑
85.291 km
↓
↑
85.291 km
↓
S 57.326521°
E 67.500000°		 ← 84.415 km →
7 274.78 km²		 S 57.326521°
E 68.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689453125 y=0.693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689453125 × 28)
    floor (0.689453125 × 256)
    floor (176.5)     		tx = 176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693359375 × 28)
    floor (0.693359375 × 256)
    floor (177.5)     		ty = 177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 176 / 177 ti = "8/176/177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/176/177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 176 ÷ 28
    176 ÷ 256     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 177 ÷ 28
    177 ÷ 256     		y = 0.69140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69140625 × 2 - 1) × π
    -0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20264093766797))-π/2
    2×atan(0.300399826195877)-π/2
    2×0.291823567124064-π/2
    0.583647134248128-1.57079632675     		φ = -0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 176 KachelY 177 1.17809725 -0.98714919 67.500000 -56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 177 KachelY 177 1.20264094 -0.98714919 68.906250 -56.559482
    Unten links KachelX 176 KachelY + 1 178 1.17809725 -1.00053654 67.500000 -57.326521
    Unten rechts KachelX + 1 177 KachelY + 1 178 1.20264094 -1.00053654 68.906250 -57.326521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98714919--1.00053654) × R
    0.0133873499999999 × 6371000     		dl = 85290.8068499994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98714919--1.00053654) × R
    0.0133873499999999 × 6371000     		dr = 85290.8068499994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.20264094) × cos(-0.98714919) × R
    0.02454369 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 86169.7836178694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.20264094) × cos(-1.00053654) × R
    0.02454369 × 0.539850745277805 × 6371000     		du = 84415.2998147388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98714919)-sin(-1.00053654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.539850745277805)×R²
    abs(1.20264094-1.17809725)×0.0112202336635252×R²
    0.02454369×0.0112202336635252×6371000²
    0.02454369×0.0112202336635252×40589641000000     		ar = 7274778351.10108m²