Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17672 / 17672
↖ ↑ ↗
← S 14.008697°
E 14.150391°		 ← 1 185.24 m → S 14.008697°
E 14.161377°		 →
↑
1 185.26 m
↓
↑
1 185.26 m
↓
S 14.019356°
E 14.150391°		 ← 1 185.19 m →
1 404 791 m²		 S 14.019356°
E 14.161377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539321899414062 y=0.539321899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539321899414062 × 215)
    floor (0.539321899414062 × 32768)
    floor (17672.5)     		tx = 17672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.539321899414062 × 215)
    floor (0.539321899414062 × 32768)
    floor (17672.5)     		ty = 17672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17672 / 17672 ti = "15/17672/17672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17672/17672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17672 ÷ 215
    17672 ÷ 32768     		x = 0.539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17672 ÷ 215
    17672 ÷ 32768     		y = 0.539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539306640625 × 2 - 1) × π
    0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.07861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.246970906842529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24697091} λ = 0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.246970906842529))-π/2
    2×atan(0.781163419711167)-π/2
    2×0.663149225610995-π/2
    1.32629845122199-1.57079632675     		φ = -0.24449788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24449788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -14.008697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17672 KachelY 17672 0.24697091 -0.24449788 14.150391 -14.008697
    Oben rechts KachelX + 1 17673 KachelY 17672 0.24716265 -0.24449788 14.161377 -14.008697
    Unten links KachelX 17672 KachelY + 1 17673 0.24697091 -0.24468392 14.150391 -14.019356
    Unten rechts KachelX + 1 17673 KachelY + 1 17673 0.24716265 -0.24468392 14.161377 -14.019356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24449788--0.24468392) × R
    0.000186039999999998 × 6371000     		dl = 1185.26083999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24449788--0.24468392) × R
    0.000186039999999998 × 6371000     		dr = 1185.26083999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24697091-0.24716265) × cos(-0.24449788) × R
    0.000191740000000024 × 0.970258995051632 × 6371000     		do = 1185.2446558202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24697091-0.24716265) × cos(-0.24468392) × R
    0.000191740000000024 × 0.970213943712954 × 6371000     		du = 1185.18962220683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24449788)-sin(-0.24468392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970258995051632-0.970213943712954)×R²
    abs(0.24716265-0.24697091)×4.50513386779372e-05×R²
    0.000191740000000024×4.50513386779372e-05×6371000²
    0.000191740000000024×4.50513386779372e-05×40589641000000     		ar = 1404791.46582129m²