Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17792 / 17792
↖ ↑ ↗
← S 15.284185°
E 15.468750°		 ← 1 178.43 m → S 15.284185°
E 15.479737°		 →
↑
1 178.38 m
↓
↑
1 178.38 m
↓
S 15.294782°
E 15.468750°		 ← 1 178.37 m →
1 388 604 m²		 S 15.294782°
E 15.479737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542984008789062 y=0.542984008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542984008789062 × 215)
    floor (0.542984008789062 × 32768)
    floor (17792.5)     		tx = 17792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.542984008789062 × 215)
    floor (0.542984008789062 × 32768)
    floor (17792.5)     		ty = 17792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17792 / 17792 ti = "15/17792/17792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17792/17792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17792 ÷ 215
    17792 ÷ 32768     		x = 0.54296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17792 ÷ 215
    17792 ÷ 32768     		y = 0.54296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54296875 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54296875 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.269980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26998062} λ = 0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.269980618660156))-π/2
    2×atan(0.76339428979764)-π/2
    2×0.652018486538701-π/2
    1.3040369730774-1.57079632675     		φ = -0.26675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.26675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -15.284185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17792 KachelY 17792 0.26998062 -0.26675935 15.468750 -15.284185
    Oben rechts KachelX + 1 17793 KachelY 17792 0.27017237 -0.26675935 15.479737 -15.284185
    Unten links KachelX 17792 KachelY + 1 17793 0.26998062 -0.26694431 15.468750 -15.294782
    Unten rechts KachelX + 1 17793 KachelY + 1 17793 0.27017237 -0.26694431 15.479737 -15.294782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.26675935--0.26694431) × R
    0.000184960000000012 × 6371000     		dl = 1178.38016000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.26675935--0.26694431) × R
    0.000184960000000012 × 6371000     		dr = 1178.38016000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26998062-0.27017237) × cos(-0.26675935) × R
    0.000191749999999991 × 0.964630217417108 × 6371000     		do = 1178.43013533271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26998062-0.27017237) × cos(-0.26694431) × R
    0.000191749999999991 × 0.964581444204038 × 6371000     		du = 1178.37055206128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.26675935)-sin(-0.26694431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964630217417108-0.964581444204038)×R²
    abs(0.27017237-0.26998062)×4.87732130697305e-05×R²
    0.000191749999999991×4.87732130697305e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.87732130697305e-05×40589641000000     		ar = 1388603.58950865m²