Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17920 / 15872
↖ ↑ ↗
← N  5.615986°
E 16.875000°		 ← 1 215.78 m → N  5.615986°
E 16.885986°		 →
↑
1 215.78 m
↓
↑
1 215.78 m
↓
N  5.605052°
E 16.875000°		 ← 1 215.80 m →
1 478 127 m²		 N  5.605052°
E 16.885986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546890258789062 y=0.484390258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546890258789062 × 215)
    floor (0.546890258789062 × 32768)
    floor (17920.5)     		tx = 17920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484390258789062 × 215)
    floor (0.484390258789062 × 32768)
    floor (15872.5)     		ty = 15872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17920 / 15872 ti = "15/17920/15872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17920/15872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17920 ÷ 215
    17920 ÷ 32768     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15872 ÷ 215
    15872 ÷ 32768     		y = 0.484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484375 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Φ = 0.098174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.098174770421875))-π/2
    2×atan(1.10315556722559)-π/2
    2×0.834406885040838-π/2
    1.66881377008168-1.57079632675     		φ = 0.09801744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09801744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.615986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17920 KachelY 15872 0.29452431 0.09801744 16.875000 5.615986
    Oben rechts KachelX + 1 17921 KachelY 15872 0.29471606 0.09801744 16.885986 5.615986
    Unten links KachelX 17920 KachelY + 1 15873 0.29452431 0.09782661 16.875000 5.605052
    Unten rechts KachelX + 1 17921 KachelY + 1 15873 0.29471606 0.09782661 16.885986 5.605052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09801744-0.09782661) × R
    0.000190830000000003 × 6371000     		dl = 1215.77793000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09801744-0.09782661) × R
    0.000190830000000003 × 6371000     		dr = 1215.77793000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.29471606) × cos(0.09801744) × R
    0.000191749999999991 × 0.995200135433612 × 6371000     		do = 1215.77554705096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.29471606) × cos(0.09782661) × R
    0.000191749999999991 × 0.995218792044714 × 6371000     		du = 1215.79833869935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09801744)-sin(0.09782661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995200135433612-0.995218792044714)×R²
    abs(0.29471606-0.29452431)×1.86566111018971e-05×R²
    0.000191749999999991×1.86566111018971e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.86566111018971e-05×40589641000000     		ar = 1478126.93721538m²