Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17922 / 15874
↖ ↑ ↗
← N  5.594118°
E 16.896973°		 ← 1 215.76 m → N  5.594118°
E 16.907959°		 →
↑
1 215.78 m
↓
↑
1 215.78 m
↓
N  5.583184°
E 16.896973°		 ← 1 215.78 m →
1 478 105 m²		 N  5.583184°
E 16.907959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546951293945312 y=0.484451293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546951293945312 × 215)
    floor (0.546951293945312 × 32768)
    floor (17922.5)     		tx = 17922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484451293945312 × 215)
    floor (0.484451293945312 × 32768)
    floor (15874.5)     		ty = 15874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17922 / 15874 ti = "15/17922/15874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17922/15874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17922 ÷ 215
    17922 ÷ 32768     		x = 0.54693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15874 ÷ 215
    15874 ÷ 32768     		y = 0.48443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54693603515625 × 2 - 1) × π
    0.0938720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29490781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48443603515625 × 2 - 1) × π
    0.0311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29490781} λ = 0.29490781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0977912752249146))-π/2
    2×atan(1.10273259347344)-π/2
    2×0.834216054228728-π/2
    1.66843210845746-1.57079632675     		φ = 0.09763578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29490781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.896973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09763578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.594118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17922 KachelY 15874 0.29490781 0.09763578 16.896973 5.594118
    Oben rechts KachelX + 1 17923 KachelY 15874 0.29509955 0.09763578 16.907959 5.594118
    Unten links KachelX 17922 KachelY + 1 15875 0.29490781 0.09744495 16.896973 5.583184
    Unten rechts KachelX + 1 17923 KachelY + 1 15875 0.29509955 0.09744495 16.907959 5.583184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09763578-0.09744495) × R
    0.000190830000000003 × 6371000     		dl = 1215.77793000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09763578-0.09744495) × R
    0.000190830000000003 × 6371000     		dr = 1215.77793000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29490781-0.29509955) × cos(0.09763578) × R
    0.000191739999999996 × 0.99523741241384 × 6371000     		do = 1215.75767949761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29490781-0.29509955) × cos(0.09744495) × R
    0.000191739999999996 × 0.995255996540312 × 6371000     		du = 1215.78038141194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09763578)-sin(0.09744495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99523741241384-0.995255996540312)×R²
    abs(0.29509955-0.29490781)×1.85841264720432e-05×R²
    0.000191739999999996×1.85841264720432e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.85841264720432e-05×40589641000000     		ar = 1478105.15969002m²