Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1800 / 1800
↖ ↑ ↗
← S 79.432371°
E136.406250°		 ← 3 584.65 m → S 79.432371°
E136.582031°		 →
↑
3 579.29 m
↓
↑
3 579.29 m
↓
S 79.464560°
E136.406250°		 ← 3 573.86 m →
12 811 199 m²		 S 79.464560°
E136.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.879150390625 y=0.879150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.879150390625 × 211)
    floor (0.879150390625 × 2048)
    floor (1800.5)     		tx = 1800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879150390625 × 211)
    floor (0.879150390625 × 2048)
    floor (1800.5)     		ty = 1800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1800 / 1800 ti = "11/1800/1800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1800/1800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1800 ÷ 211
    1800 ÷ 2048     		x = 0.87890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1800 ÷ 211
    1800 ÷ 2048     		y = 0.87890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87890625 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87890625 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38073818} λ = 2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38073818273047))-π/2
    2×atan(0.0924822834821675)-π/2
    2×0.0922199621976958-π/2
    0.184439924395392-1.57079632675     		φ = -1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1800 KachelY 1800 2.38073818 -1.38635640 136.406250 -79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 1801 KachelY 1800 2.38380614 -1.38635640 136.582031 -79.432371
    Unten links KachelX 1800 KachelY + 1 1801 2.38073818 -1.38691821 136.406250 -79.464560
    Unten rechts KachelX + 1 1801 KachelY + 1 1801 2.38380614 -1.38691821 136.582031 -79.464560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38635640--1.38691821) × R
    0.000561809999999996 × 6371000     		dl = 3579.29150999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38635640--1.38691821) × R
    0.000561809999999996 × 6371000     		dr = 3579.29150999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38073818-2.38380614) × cos(-1.38635640) × R
    0.00306796000000009 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 3584.65306789866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38073818-2.38380614) × cos(-1.38691821) × R
    0.00306796000000009 × 0.182843678328536 × 6371000     		du = 3573.85762908534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38635640)-sin(-1.38691821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.182843678328536)×R²
    abs(2.38380614-2.38073818)×0.000552310121626653×R²
    0.00306796000000009×0.000552310121626653×6371000²
    0.00306796000000009×0.000552310121626653×40589641000000     		ar = 12811198.6179446m²