Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18440 / 22536
↖ ↑ ↗
← S 55.825973°
E 22.587890°		 ← 686.21 m → S 55.825973°
E 22.598877°		 →
↑
686.16 m
↓
↑
686.16 m
↓
S 55.832144°
E 22.587890°		 ← 686.10 m →
470 807 m²		 S 55.832144°
E 22.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562759399414062 y=0.687759399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562759399414062 × 215)
    floor (0.562759399414062 × 32768)
    floor (18440.5)     		tx = 18440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687759399414062 × 215)
    floor (0.687759399414062 × 32768)
    floor (22536.5)     		ty = 22536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18440 / 22536 ti = "15/18440/22536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18440/22536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18440 ÷ 215
    18440 ÷ 32768     		x = 0.562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22536 ÷ 215
    22536 ÷ 32768     		y = 0.687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562744140625 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    -0.37548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17963122585034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39423306} λ = 0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17963122585034))-π/2
    2×atan(0.307392075953325)-π/2
    2×0.298224642695219-π/2
    0.596449285390439-1.57079632675     		φ = -0.97434704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97434704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.825973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18440 KachelY 22536 0.39423306 -0.97434704 22.587890 -55.825973
    Oben rechts KachelX + 1 18441 KachelY 22536 0.39442481 -0.97434704 22.598877 -55.825973
    Unten links KachelX 18440 KachelY + 1 22537 0.39423306 -0.97445474 22.587890 -55.832144
    Unten rechts KachelX + 1 18441 KachelY + 1 22537 0.39442481 -0.97445474 22.598877 -55.832144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97434704--0.97445474) × R
    0.000107699999999933 × 6371000     		dl = 686.156699999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97434704--0.97445474) × R
    0.000107699999999933 × 6371000     		dr = 686.156699999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39423306-0.39442481) × cos(-0.97434704) × R
    0.000191749999999991 × 0.561708390106942 × 6371000     		do = 686.205016408918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39423306-0.39442481) × cos(-0.97445474) × R
    0.000191749999999991 × 0.561619282838515 × 6371000     		du = 686.096159472348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97434704)-sin(-0.97445474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561708390106942-0.561619282838515)×R²
    abs(0.39442481-0.39423306)×8.91072684264804e-05×R²
    0.000191749999999991×8.91072684264804e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.91072684264804e-05×40589641000000     		ar = 470806.823579987m²