Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18560 / 18816
↖ ↑ ↗
← S 25.799891°
E 23.906250°		 ← 1 099.87 m → S 25.799891°
E 23.917236°		 →
↑
1 099.76 m
↓
↑
1 099.76 m
↓
S 25.809782°
E 23.906250°		 ← 1 099.77 m →
1 209 540 m²		 S 25.809782°
E 23.917236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566421508789062 y=0.574234008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566421508789062 × 215)
    floor (0.566421508789062 × 32768)
    floor (18560.5)     		tx = 18560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574234008789062 × 215)
    floor (0.574234008789062 × 32768)
    floor (18816.5)     		ty = 18816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18560 / 18816 ti = "15/18560/18816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18560/18816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18560 ÷ 215
    18560 ÷ 32768     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18816 ÷ 215
    18816 ÷ 32768     		y = 0.57421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57421875 × 2 - 1) × π
    -0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466330159503906))-π/2
    2×atan(0.627300140750788)-π/2
    2×0.560251639511602-π/2
    1.1205032790232-1.57079632675     		φ = -0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18560 KachelY 18816 0.41724277 -0.45029305 23.906250 -25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 18561 KachelY 18816 0.41743452 -0.45029305 23.917236 -25.799891
    Unten links KachelX 18560 KachelY + 1 18817 0.41724277 -0.45046567 23.906250 -25.809782
    Unten rechts KachelX + 1 18561 KachelY + 1 18817 0.41743452 -0.45046567 23.917236 -25.809782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45029305--0.45046567) × R
    0.000172620000000012 × 6371000     		dl = 1099.76202000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45029305--0.45046567) × R
    0.000172620000000012 × 6371000     		dr = 1099.76202000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41743452) × cos(-0.45029305) × R
    0.000191749999999991 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 1099.86575728856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41743452) × cos(-0.45046567) × R
    0.000191749999999991 × 0.900244454329406 × 6371000     		du = 1099.77396000358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45029305)-sin(-0.45046567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.900244454329406)×R²
    abs(0.41743452-0.41724277)×7.51427108902636e-05×R²
    0.000191749999999991×7.51427108902636e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.51427108902636e-05×40589641000000     		ar = 1209540.11238403m²