Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18561 / 18561
↖ ↑ ↗
← S 23.251440°
E 23.917236°		 ← 1 122.42 m → S 23.251440°
E 23.928223°		 →
↑
1 122.38 m
↓
↑
1 122.38 m
↓
S 23.261534°
E 23.917236°		 ← 1 122.33 m →
1 259 732 m²		 S 23.261534°
E 23.928223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566452026367188 y=0.566452026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566452026367188 × 215)
    floor (0.566452026367188 × 32768)
    floor (18561.5)     		tx = 18561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566452026367188 × 215)
    floor (0.566452026367188 × 32768)
    floor (18561.5)     		ty = 18561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18561 / 18561 ti = "15/18561/18561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18561/18561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18561 ÷ 215
    18561 ÷ 32768     		x = 0.566436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18561 ÷ 215
    18561 ÷ 32768     		y = 0.566436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566436767578125 × 2 - 1) × π
    0.13287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41743452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.13287353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.417434521891449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41743452} λ = 0.41743452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.417434521891449))-π/2
    2×atan(0.658734623133103)-π/2
    2×0.582491066975809-π/2
    1.16498213395162-1.57079632675     		φ = -0.40581419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41743452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.917236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40581419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.251440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18561 KachelY 18561 0.41743452 -0.40581419 23.917236 -23.251440
    Oben rechts KachelX + 1 18562 KachelY 18561 0.41762627 -0.40581419 23.928223 -23.251440
    Unten links KachelX 18561 KachelY + 1 18562 0.41743452 -0.40599036 23.917236 -23.261534
    Unten rechts KachelX + 1 18562 KachelY + 1 18562 0.41762627 -0.40599036 23.928223 -23.261534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40581419--0.40599036) × R
    0.000176169999999976 × 6371000     		dl = 1122.37906999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40581419--0.40599036) × R
    0.000176169999999976 × 6371000     		dr = 1122.37906999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41743452-0.41762627) × cos(-0.40581419) × R
    0.000191750000000046 × 0.918781286427778 × 6371000     		do = 1122.41928166594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41743452-0.41762627) × cos(-0.40599036) × R
    0.000191750000000046 × 0.918711726076322 × 6371000     		du = 1122.33430401035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40581419)-sin(-0.40599036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918781286427778-0.918711726076322)×R²
    abs(0.41762627-0.41743452)×6.95603514561105e-05×R²
    0.000191750000000046×6.95603514561105e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.95603514561105e-05×40589641000000     		ar = 1259732.22419295m²