Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18692 / 18692
↖ ↑ ↗
← S 24.567108°
E 25.356445°		 ← 1 110.99 m → S 24.567108°
E 25.367431°		 →
↑
1 110.97 m
↓
↑
1 110.97 m
↓
S 24.577100°
E 25.356445°		 ← 1 110.90 m →
1 234 235 m²		 S 24.577100°
E 25.367431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570449829101562 y=0.570449829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570449829101562 × 215)
    floor (0.570449829101562 × 32768)
    floor (18692.5)     		tx = 18692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570449829101562 × 215)
    floor (0.570449829101562 × 32768)
    floor (18692.5)     		ty = 18692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18692 / 18692 ti = "15/18692/18692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18692/18692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18692 ÷ 215
    18692 ÷ 32768     		x = 0.5704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18692 ÷ 215
    18692 ÷ 32768     		y = 0.5704345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5704345703125 × 2 - 1) × π
    0.140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44255346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5704345703125 × 2 - 1) × π
    -0.140869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.442553457292358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44255346} λ = 0.44255346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.442553457292358))-π/2
    2×atan(0.642393999406388)-π/2
    2×0.571009699179875-π/2
    1.14201939835975-1.57079632675     		φ = -0.42877693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44255346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42877693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.567108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18692 KachelY 18692 0.44255346 -0.42877693 25.356445 -24.567108
    Oben rechts KachelX + 1 18693 KachelY 18692 0.44274520 -0.42877693 25.367431 -24.567108
    Unten links KachelX 18692 KachelY + 1 18693 0.44255346 -0.42895131 25.356445 -24.577100
    Unten rechts KachelX + 1 18693 KachelY + 1 18693 0.44274520 -0.42895131 25.367431 -24.577100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42877693--0.42895131) × R
    0.000174379999999974 × 6371000     		dl = 1110.97497999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42877693--0.42895131) × R
    0.000174379999999974 × 6371000     		dr = 1110.97497999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44255346-0.44274520) × cos(-0.42877693) × R
    0.000191739999999996 × 0.909474931859145 × 6371000     		do = 1110.99233100227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44255346-0.44274520) × cos(-0.42895131) × R
    0.000191739999999996 × 0.909402418018734 × 6371000     		du = 1110.90374986852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42877693)-sin(-0.42895131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909474931859145-0.909402418018734)×R²
    abs(0.44274520-0.44255346)×7.25138404111814e-05×R²
    0.000191739999999996×7.25138404111814e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.25138404111814e-05×40589641000000     		ar = 1234235.48013137m²