Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19072 / 19072
↖ ↑ ↗
← S 28.304381°
E 29.531250°		 ← 1 075.58 m → S 28.304381°
E 29.542236°		 →
↑
1 075.49 m
↓
↑
1 075.49 m
↓
S 28.314053°
E 29.531250°		 ← 1 075.48 m →
1 156 723 m²		 S 28.314053°
E 29.542236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582046508789062 y=0.582046508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582046508789062 × 215)
    floor (0.582046508789062 × 32768)
    floor (19072.5)     		tx = 19072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582046508789062 × 215)
    floor (0.582046508789062 × 32768)
    floor (19072.5)     		ty = 19072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19072 / 19072 ti = "15/19072/19072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19072/19072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19072 ÷ 215
    19072 ÷ 32768     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19072 ÷ 215
    19072 ÷ 32768     		y = 0.58203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58203125 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515417544714844))-π/2
    2×atan(0.597251163480789)-π/2
    2×0.538395845576143-π/2
    1.07679169115229-1.57079632675     		φ = -0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19072 KachelY 19072 0.51541754 -0.49400464 29.531250 -28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 19073 KachelY 19072 0.51560929 -0.49400464 29.542236 -28.304381
    Unten links KachelX 19072 KachelY + 1 19073 0.51541754 -0.49417345 29.531250 -28.314053
    Unten rechts KachelX + 1 19073 KachelY + 1 19073 0.51560929 -0.49417345 29.542236 -28.314053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49400464--0.49417345) × R
    0.000168810000000019 × 6371000     		dl = 1075.48851000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49400464--0.49417345) × R
    0.000168810000000019 × 6371000     		dr = 1075.48851000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51560929) × cos(-0.49400464) × R
    0.000191750000000046 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 1075.58140672485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51560929) × cos(-0.49417345) × R
    0.000191750000000046 × 0.880361046612203 × 6371000     		du = 1075.48360871281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49400464)-sin(-0.49417345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.880361046612203)×R²
    abs(0.51560929-0.51541754)×8.00547395981566e-05×R²
    0.000191750000000046×8.00547395981566e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.00547395981566e-05×40589641000000     		ar = 1156722.85693004m²