Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1921 / 1919
↖ ↑ ↗
← N 11.264612°
W 11.162109°		 ← 9 584.71 m → N 11.264612°
W 11.074219°		 →
↑
9 586.13 m
↓
↑
9 586.13 m
↓
N 11.178402°
W 11.162109°		 ← 9 587.58 m →
91 894 009 m²		 N 11.178402°
W 11.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4691162109375 y=0.4686279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4691162109375 × 212)
    floor (0.4691162109375 × 4096)
    floor (1921.5)     		tx = 1921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4686279296875 × 212)
    floor (0.4686279296875 × 4096)
    floor (1919.5)     		ty = 1919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1921 / 1919 ti = "12/1921/1919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1921/1919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1921 ÷ 212
    1921 ÷ 4096     		x = 0.468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1919 ÷ 212
    1919 ÷ 4096     		y = 0.468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468505859375 × 2 - 1) × π
    0.06298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.197883521631592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19481556} λ = -0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.197883521631592))-π/2
    2×atan(1.2188204193395)-π/2
    2×0.883700449428958-π/2
    1.76740089885792-1.57079632675     		φ = 0.19660457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19660457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.264612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1921 KachelY 1919 -0.19481556 0.19660457 -11.162109 11.264612
    Oben rechts KachelX + 1 1922 KachelY 1919 -0.19328158 0.19660457 -11.074219 11.264612
    Unten links KachelX 1921 KachelY + 1 1920 -0.19481556 0.19509992 -11.162109 11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 1922 KachelY + 1 1920 -0.19328158 0.19509992 -11.074219 11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19660457-0.19509992) × R
    0.00150465 × 6371000     		dl = 9586.12514999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19660457-0.19509992) × R
    0.00150465 × 6371000     		dr = 9586.12514999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19481556--0.19328158) × cos(0.19660457) × R
    0.00153397999999999 × 0.980735494789576 × 6371000     		do = 9584.71482910813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19481556--0.19328158) × cos(0.19509992) × R
    0.00153397999999999 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 9587.57644470603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19660457)-sin(0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980735494789576-0.981028303500043)×R²
    abs(-0.19328158--0.19481556)×0.000292808710466774×R²
    0.00153397999999999×0.000292808710466774×6371000²
    0.00153397999999999×0.000292808710466774×40589641000000     		ar = 91894009.1186372m²