Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1928 / 2440
↖ ↑ ↗
← S 32.546813°
W 10.546875°		 ← 8 238.16 m → S 32.546813°
W 10.458984°		 →
↑
8 234.77 m
↓
↑
8 234.77 m
↓
S 32.620870°
W 10.546875°		 ← 8 231.36 m →
67 811 374 m²		 S 32.620870°
W 10.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4708251953125 y=0.5958251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4708251953125 × 212)
    floor (0.4708251953125 × 4096)
    floor (1928.5)     		tx = 1928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5958251953125 × 212)
    floor (0.5958251953125 × 4096)
    floor (2440.5)     		ty = 2440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1928 / 2440 ti = "12/1928/2440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1928/2440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1928 ÷ 212
    1928 ÷ 4096     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2440 ÷ 212
    2440 ÷ 4096     		y = 0.595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595703125 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.601320468833984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601320468833984))-π/2
    2×atan(0.548087425686702)-π/2
    2×0.50137363795004-π/2
    1.00274727590008-1.57079632675     		φ = -0.56804905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56804905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.546813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1928 KachelY 2440 -0.18407769 -0.56804905 -10.546875 -32.546813
    Oben rechts KachelX + 1 1929 KachelY 2440 -0.18254371 -0.56804905 -10.458984 -32.546813
    Unten links KachelX 1928 KachelY + 1 2441 -0.18407769 -0.56934159 -10.546875 -32.620870
    Unten rechts KachelX + 1 1929 KachelY + 1 2441 -0.18254371 -0.56934159 -10.458984 -32.620870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56804905--0.56934159) × R
    0.0012925399999999 × 6371000     		dl = 8234.77233999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56804905--0.56934159) × R
    0.0012925399999999 × 6371000     		dr = 8234.77233999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18254371) × cos(-0.56804905) × R
    0.00153397999999999 × 0.842952167416165 × 6371000     		do = 8238.16021974004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18254371) × cos(-0.56934159) × R
    0.00153397999999999 × 0.842256091790206 × 6371000     		du = 8231.35748198888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56804905)-sin(-0.56934159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842952167416165-0.842256091790206)×R²
    abs(-0.18254371--0.18407769)×0.000696075625958859×R²
    0.00153397999999999×0.000696075625958859×6371000²
    0.00153397999999999×0.000696075625958859×40589641000000     		ar = 67811373.8524771m²