Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19488 / 15392
↖ ↑ ↗
← N 10.833306°
E 34.101563°		 ← 1 199.80 m → N 10.833306°
E 34.112549°		 →
↑
1 199.91 m
↓
↑
1 199.91 m
↓
N 10.822515°
E 34.101563°		 ← 1 199.85 m →
1 439 689 m²		 N 10.822515°
E 34.112549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594741821289062 y=0.469741821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594741821289062 × 215)
    floor (0.594741821289062 × 32768)
    floor (19488.5)     		tx = 19488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469741821289062 × 215)
    floor (0.469741821289062 × 32768)
    floor (15392.5)     		ty = 15392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19488 / 15392 ti = "15/19488/15392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19488/15392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19488 ÷ 215
    19488 ÷ 32768     		x = 0.5947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15392 ÷ 215
    15392 ÷ 32768     		y = 0.4697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    0.060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.190213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59518455} λ = 0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.190213617692383))-π/2
    2×atan(1.20950794235833)-π/2
    2×0.879936592540061-π/2
    1.75987318508012-1.57079632675     		φ = 0.18907686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18907686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.833306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19488 KachelY 15392 0.59518455 0.18907686 34.101563 10.833306
    Oben rechts KachelX + 1 19489 KachelY 15392 0.59537629 0.18907686 34.112549 10.833306
    Unten links KachelX 19488 KachelY + 1 15393 0.59518455 0.18888852 34.101563 10.822515
    Unten rechts KachelX + 1 19489 KachelY + 1 15393 0.59537629 0.18888852 34.112549 10.822515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18907686-0.18888852) × R
    0.000188340000000009 × 6371000     		dl = 1199.91414000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18907686-0.18888852) × R
    0.000188340000000009 × 6371000     		dr = 1199.91414000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59518455-0.59537629) × cos(0.18907686) × R
    0.000191739999999996 × 0.982178159866999 × 6371000     		do = 1199.80481601571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59518455-0.59537629) × cos(0.18888852) × R
    0.000191739999999996 × 0.98221354138068 × 6371000     		du = 1199.84803720739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18907686)-sin(0.18888852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982178159866999-0.98221354138068)×R²
    abs(0.59537629-0.59518455)×3.53815136803215e-05×R²
    0.000191739999999996×3.53815136803215e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.53815136803215e-05×40589641000000     		ar = 1439688.69909254m²