Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19520 / 17472
↖ ↑ ↗
← S 11.867351°
E 34.453125°		 ← 1 195.53 m → S 11.867351°
E 34.464112°		 →
↑
1 195.45 m
↓
↑
1 195.45 m
↓
S 11.878102°
E 34.453125°		 ← 1 195.48 m →
1 429 171 m²		 S 11.878102°
E 34.464112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595718383789062 y=0.533218383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595718383789062 × 215)
    floor (0.595718383789062 × 32768)
    floor (19520.5)     		tx = 19520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533218383789062 × 215)
    floor (0.533218383789062 × 32768)
    floor (17472.5)     		ty = 17472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19520 / 17472 ti = "15/19520/17472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19520/17472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19520 ÷ 215
    19520 ÷ 32768     		x = 0.595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17472 ÷ 215
    17472 ÷ 32768     		y = 0.533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595703125 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533203125 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.208621387146484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60132047} λ = 0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.208621387146484))-π/2
    2×atan(0.811702498472065)-π/2
    2×0.681835989953108-π/2
    1.36367197990622-1.57079632675     		φ = -0.20712435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20712435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.867351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19520 KachelY 17472 0.60132047 -0.20712435 34.453125 -11.867351
    Oben rechts KachelX + 1 19521 KachelY 17472 0.60151222 -0.20712435 34.464112 -11.867351
    Unten links KachelX 19520 KachelY + 1 17473 0.60132047 -0.20731199 34.453125 -11.878102
    Unten rechts KachelX + 1 19521 KachelY + 1 17473 0.60151222 -0.20731199 34.464112 -11.878102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20712435--0.20731199) × R
    0.000187639999999989 × 6371000     		dl = 1195.45443999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20712435--0.20731199) × R
    0.000187639999999989 × 6371000     		dr = 1195.45443999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60132047-0.60151222) × cos(-0.20712435) × R
    0.000191750000000046 × 0.978626327765447 × 6371000     		do = 1195.52833308192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60132047-0.60151222) × cos(-0.20731199) × R
    0.000191750000000046 × 0.978587723015688 × 6371000     		du = 1195.48117200438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20712435)-sin(-0.20731199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978626327765447-0.978587723015688)×R²
    abs(0.60151222-0.60132047)×3.86047497588082e-05×R²
    0.000191750000000046×3.86047497588082e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.86047497588082e-05×40589641000000     		ar = 1429171.4686621m²