Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19584 / 15488
↖ ↑ ↗
← N  9.795678°
E 35.156250°		 ← 1 203.77 m → N  9.795678°
E 35.167236°		 →
↑
1 203.86 m
↓
↑
1 203.86 m
↓
N  9.784851°
E 35.156250°		 ← 1 203.81 m →
1 449 194 m²		 N  9.784851°
E 35.167236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597671508789062 y=0.472671508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597671508789062 × 215)
    floor (0.597671508789062 × 32768)
    floor (19584.5)     		tx = 19584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472671508789062 × 215)
    floor (0.472671508789062 × 32768)
    floor (15488.5)     		ty = 15488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19584 / 15488 ti = "15/19584/15488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19584/15488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19584 ÷ 215
    19584 ÷ 32768     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15488 ÷ 215
    15488 ÷ 32768     		y = 0.47265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47265625 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.171805848238281))-π/2
    2×atan(1.18744726585349)-π/2
    2×0.870881576537118-π/2
    1.74176315307424-1.57079632675     		φ = 0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19584 KachelY 15488 0.61359232 0.17096683 35.156250 9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 19585 KachelY 15488 0.61378406 0.17096683 35.167236 9.795678
    Unten links KachelX 19584 KachelY + 1 15489 0.61359232 0.17077787 35.156250 9.784851
    Unten rechts KachelX + 1 19585 KachelY + 1 15489 0.61378406 0.17077787 35.167236 9.784851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17096683-0.17077787) × R
    0.000188959999999988 × 6371000     		dl = 1203.86415999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17096683-0.17077787) × R
    0.000188959999999988 × 6371000     		dr = 1203.86415999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.61378406) × cos(0.17096683) × R
    0.000191739999999996 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 1203.76586736653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.61378406) × cos(0.17077787) × R
    0.000191739999999996 × 0.985452866869307 × 6371000     		du = 1203.8051179904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17096683)-sin(0.17077787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.985452866869307)×R²
    abs(0.61378406-0.61359232)×3.21311475069974e-05×R²
    0.000191739999999996×3.21311475069974e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.21311475069974e-05×40589641000000     		ar = 1449194.21527568m²