Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 196 / 188
↖ ↑ ↗
← S 64.168107°
E 95.625000°		 ← 68.135 km → S 64.168107°
E 97.031250°		 →
↑
67.386 km
↓
↑
67.386 km
↓
S 64.774125°
E 95.625000°		 ← 66.642 km →
4 541.08 km²		 S 64.774125°
E 97.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767578125 y=0.736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767578125 × 28)
    floor (0.767578125 × 256)
    floor (196.5)     		tx = 196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736328125 × 28)
    floor (0.736328125 × 256)
    floor (188.5)     		ty = 188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 196 / 188 ti = "8/196/188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/196/188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 196 ÷ 28
    196 ÷ 256     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 188 ÷ 28
    188 ÷ 256     		y = 0.734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734375 × 2 - 1) × π
    -0.46875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47262155632813))-π/2
    2×atan(0.229323511974136)-π/2
    2×0.2254257933358-π/2
    0.4508515866716-1.57079632675     		φ = -1.11994474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11994474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.168107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 196 KachelY 188 1.66897110 -1.11994474 95.625000 -64.168107
    Oben rechts KachelX + 1 197 KachelY 188 1.69351479 -1.11994474 97.031250 -64.168107
    Unten links KachelX 196 KachelY + 1 189 1.66897110 -1.13052176 95.625000 -64.774125
    Unten rechts KachelX + 1 197 KachelY + 1 189 1.69351479 -1.13052176 97.031250 -64.774125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11994474--1.13052176) × R
    0.0105770199999999 × 6371000     		dl = 67386.1944199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11994474--1.13052176) × R
    0.0105770199999999 × 6371000     		dr = 67386.1944199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.69351479) × cos(-1.11994474) × R
    0.02454369 × 0.435732185161907 × 6371000     		do = 68134.5045294798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.69351479) × cos(-1.13052176) × R
    0.02454369 × 0.426187863772093 × 6371000     		du = 66642.0795236854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11994474)-sin(-1.13052176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435732185161907-0.426187863772093)×R²
    abs(1.69351479-1.66897110)×0.00954432138981381×R²
    0.02454369×0.00954432138981381×6371000²
    0.02454369×0.00954432138981381×40589641000000     		ar = 4541082883.7276m²