Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2016 / 2016
↖ ↑ ↗
← N  2.811371°
W  2.812500°		 ← 9 761.29 m → N  2.811371°
W  2.724609°		 →
↑
9 761.58 m
↓
↑
9 761.58 m
↓
N  2.723583°
W  2.812500°		 ← 9 762.01 m →
95 289 162 m²		 N  2.723583°
W  2.724609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4923095703125 y=0.4923095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4923095703125 × 212)
    floor (0.4923095703125 × 4096)
    floor (2016.5)     		tx = 2016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4923095703125 × 212)
    floor (0.4923095703125 × 4096)
    floor (2016.5)     		ty = 2016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2016 / 2016 ti = "12/2016/2016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2016/2016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2016 ÷ 212
    2016 ÷ 4096     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2016 ÷ 212
    2016 ÷ 4096     		y = 0.4921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4921875 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0490873852109375))-π/2
    2×atan(1.05031212847686)-π/2
    2×0.809932005306423-π/2
    1.61986401061285-1.57079632675     		φ = 0.04906768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04906768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.811371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2016 KachelY 2016 -0.04908739 0.04906768 -2.812500 2.811371
    Oben rechts KachelX + 1 2017 KachelY 2016 -0.04755340 0.04906768 -2.724609 2.811371
    Unten links KachelX 2016 KachelY + 1 2017 -0.04908739 0.04753549 -2.812500 2.723583
    Unten rechts KachelX + 1 2017 KachelY + 1 2017 -0.04755340 0.04753549 -2.724609 2.723583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04906768-0.04753549) × R
    0.00153219 × 6371000     		dl = 9761.58249000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04906768-0.04753549) × R
    0.00153219 × 6371000     		dr = 9761.58249000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.04755340) × cos(0.04906768) × R
    0.00153399 × 0.9987964229002 × 6371000     		do = 9761.28767047576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.04755340) × cos(0.04753549) × R
    0.00153399 × 0.998870401324842 × 6371000     		du = 9762.01066534015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04906768)-sin(0.04753549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9987964229002-0.998870401324842)×R²
    abs(-0.04755340--0.04908739)×7.39784246412967e-05×R²
    0.00153399×7.39784246412967e-05×6371000²
    0.00153399×7.39784246412967e-05×40589641000000     		ar = 95289162.2327599m²