Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2017 / 2143
↖ ↑ ↗
← S  8.320212°
W  2.724609°		 ← 9 670.12 m → S  8.320212°
W  2.636719°		 →
↑
9 669.08 m
↓
↑
9 669.08 m
↓
S  8.407168°
W  2.724609°		 ← 9 667.97 m →
93 490 747 m²		 S  8.407168°
W  2.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4925537109375 y=0.5233154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4925537109375 × 212)
    floor (0.4925537109375 × 4096)
    floor (2017.5)     		tx = 2017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5233154296875 × 212)
    floor (0.5233154296875 × 4096)
    floor (2143.5)     		ty = 2143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2017 / 2143 ti = "12/2017/2143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2017/2143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2017 ÷ 212
    2017 ÷ 4096     		x = 0.492431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2143 ÷ 212
    2143 ÷ 4096     		y = 0.523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523193359375 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.145728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04755340} λ = -0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.145728174844971))-π/2
    2×atan(0.864392634915011)-π/2
    2×0.712790613940973-π/2
    1.42558122788195-1.57079632675     		φ = -0.14521510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14521510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.320212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2017 KachelY 2143 -0.04755340 -0.14521510 -2.724609 -8.320212
    Oben rechts KachelX + 1 2018 KachelY 2143 -0.04601942 -0.14521510 -2.636719 -8.320212
    Unten links KachelX 2017 KachelY + 1 2144 -0.04755340 -0.14673277 -2.724609 -8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 2018 KachelY + 1 2144 -0.04601942 -0.14673277 -2.636719 -8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14521510--0.14673277) × R
    0.00151767 × 6371000     		dl = 9669.07556999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14521510--0.14673277) × R
    0.00151767 × 6371000     		dr = 9669.07556999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04755340--0.04601942) × cos(-0.14521510) × R
    0.00153398 × 0.989474802659769 × 6371000     		do = 9670.1239676421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04755340--0.04601942) × cos(-0.14673277) × R
    0.00153398 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 9667.96653882229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14521510)-sin(-0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989474802659769-0.989254048358907)×R²
    abs(-0.04601942--0.04755340)×0.000220754300862436×R²
    0.00153398×0.000220754300862436×6371000²
    0.00153398×0.000220754300862436×40589641000000     		ar = 93490747.1881955m²