Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2036 / 2100
↖ ↑ ↗
← S  4.565474°
W  1.054688°		 ← 9 741.98 m → S  4.565474°
W  0.966797°		 →
↑
9 741.32 m
↓
↑
9 741.32 m
↓
S  4.653080°
W  1.054688°		 ← 9 740.78 m →
94 893 913 m²		 S  4.653080°
W  0.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4971923828125 y=0.5128173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4971923828125 × 212)
    floor (0.4971923828125 × 4096)
    floor (2036.5)     		tx = 2036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5128173828125 × 212)
    floor (0.5128173828125 × 4096)
    floor (2100.5)     		ty = 2100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2036 / 2100 ti = "12/2036/2100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2036/2100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2036 ÷ 212
    2036 ÷ 4096     		x = 0.4970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2100 ÷ 212
    2100 ÷ 4096     		y = 0.5126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5126953125 × 2 - 1) × π
    -0.025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01840777} λ = -0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0797670009677734))-π/2
    2×atan(0.923331456661246)-π/2
    2×0.745556890712279-π/2
    1.49111378142456-1.57079632675     		φ = -0.07968255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07968255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.565474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2036 KachelY 2100 -0.01840777 -0.07968255 -1.054688 -4.565474
    Oben rechts KachelX + 1 2037 KachelY 2100 -0.01687379 -0.07968255 -0.966797 -4.565474
    Unten links KachelX 2036 KachelY + 1 2101 -0.01840777 -0.08121156 -1.054688 -4.653080
    Unten rechts KachelX + 1 2037 KachelY + 1 2101 -0.01687379 -0.08121156 -0.966797 -4.653080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07968255--0.08121156) × R
    0.00152901 × 6371000     		dl = 9741.32270999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07968255--0.08121156) × R
    0.00152901 × 6371000     		dr = 9741.32270999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01840777--0.01687379) × cos(-0.07968255) × R
    0.00153398 × 0.996827024995696 × 6371000     		do = 9741.97713786427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01840777--0.01687379) × cos(-0.08121156) × R
    0.00153398 × 0.996704153288306 × 6371000     		du = 9740.77631431688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07968255)-sin(-0.08121156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996827024995696-0.996704153288306)×R²
    abs(-0.01687379--0.01840777)×0.000122871707390559×R²
    0.00153398×0.000122871707390559×6371000²
    0.00153398×0.000122871707390559×40589641000000     		ar = 94893912.8160139m²