Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2040 / 2039
↖ ↑ ↗
← N  0.790991°
W  0.703125°		 ← 9 772.06 m → N  0.790991°
W  0.615235°		 →
↑
9 772.16 m
↓
↑
9 772.16 m
↓
N  0.703107°
W  0.703125°		 ← 9 772.25 m →
95 495 045 m²		 N  0.703107°
W  0.615235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4981689453125 y=0.4979248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4981689453125 × 212)
    floor (0.4981689453125 × 4096)
    floor (2040.5)     		tx = 2040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4979248046875 × 212)
    floor (0.4979248046875 × 4096)
    floor (2039.5)     		ty = 2039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2040 / 2039 ti = "12/2040/2039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2040/2039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2040 ÷ 212
    2040 ÷ 4096     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2039 ÷ 212
    2039 ÷ 4096     		y = 0.497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497802734375 × 2 - 1) × π
    0.00439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0138058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0138058270905762))-π/2
    2×atan(1.01390156760638)-π/2
    2×0.79230085766964-π/2
    1.58460171533928-1.57079632675     		φ = 0.01380539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01380539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.790991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2040 KachelY 2039 -0.01227185 0.01380539 -0.703125 0.790991
    Oben rechts KachelX + 1 2041 KachelY 2039 -0.01073787 0.01380539 -0.615235 0.790991
    Unten links KachelX 2040 KachelY + 1 2040 -0.01227185 0.01227154 -0.703125 0.703107
    Unten rechts KachelX + 1 2041 KachelY + 1 2040 -0.01073787 0.01227154 -0.615235 0.703107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01380539-0.01227154) × R
    0.00153385 × 6371000     		dl = 9772.15835000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01380539-0.01227154) × R
    0.00153385 × 6371000     		dr = 9772.15835000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.01073787) × cos(0.01380539) × R
    0.00153398 × 0.999904707116968 × 6371000     		do = 9772.05528393296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.01073787) × cos(0.01227154) × R
    0.00153398 × 0.999924705597908 × 6371000     		du = 9772.25072881881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01380539)-sin(0.01227154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999904707116968-0.999924705597908)×R²
    abs(-0.01073787--0.01227185)×1.9998480939698e-05×R²
    0.00153398×1.9998480939698e-05×6371000²
    0.00153398×1.9998480939698e-05×40589641000000     		ar = 95495045.3213007m²