Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2040 / 2104
↖ ↑ ↗
← S  4.915833°
W  0.703125°		 ← 9 737.04 m → S  4.915833°
W  0.615235°		 →
↑
9 736.42 m
↓
↑
9 736.42 m
↓
S  5.003395°
W  0.703125°		 ← 9 735.75 m →
94 797 597 m²		 S  5.003395°
W  0.615235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4981689453125 y=0.5137939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4981689453125 × 212)
    floor (0.4981689453125 × 4096)
    floor (2040.5)     		tx = 2040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5137939453125 × 212)
    floor (0.5137939453125 × 4096)
    floor (2104.5)     		ty = 2104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2040 / 2104 ti = "12/2040/2104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2040/2104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2040 ÷ 212
    2040 ÷ 4096     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2104 ÷ 212
    2104 ÷ 4096     		y = 0.513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.513671875 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0859029241191406))-π/2
    2×atan(0.917683311812137)-π/2
    2×0.742499429468446-π/2
    1.48499885893689-1.57079632675     		φ = -0.08579747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.08579747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.915833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2040 KachelY 2104 -0.01227185 -0.08579747 -0.703125 -4.915833
    Oben rechts KachelX + 1 2041 KachelY 2104 -0.01073787 -0.08579747 -0.615235 -4.915833
    Unten links KachelX 2040 KachelY + 1 2105 -0.01227185 -0.08732571 -0.703125 -5.003395
    Unten rechts KachelX + 1 2041 KachelY + 1 2105 -0.01073787 -0.08732571 -0.615235 -5.003395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.08579747--0.08732571) × R
    0.00152824 × 6371000     		dl = 9736.41704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.08579747--0.08732571) × R
    0.00152824 × 6371000     		dr = 9736.41704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.01073787) × cos(-0.08579747) × R
    0.00153398 × 0.996321654323187 × 6371000     		do = 9737.03815706391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.01073787) × cos(-0.08732571) × R
    0.00153398 × 0.996189532592123 × 6371000     		du = 9735.74693315929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.08579747)-sin(-0.08732571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996321654323187-0.996189532592123)×R²
    abs(-0.01073787--0.01227185)×0.000132121731064361×R²
    0.00153398×0.000132121731064361×6371000²
    0.00153398×0.000132121731064361×40589641000000     		ar = 94797596.7344751m²