Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2047 / 2047
↖ ↑ ↗
← N  0.087891°
W  0.087891°		 ← 9 772.98 m → N  0.087891°
E  0.000000°		 →
↑
9 772.99 m
↓
↑
9 772.99 m
↓
N  0.000000°
W  0.087891°		 ← 9 772.99 m →
95 511 229 m²		 N  0.000000°
E  0.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4998779296875 y=0.4998779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4998779296875 × 212)
    floor (0.4998779296875 × 4096)
    floor (2047.5)     		tx = 2047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4998779296875 × 212)
    floor (0.4998779296875 × 4096)
    floor (2047.5)     		ty = 2047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2047 / 2047 ti = "12/2047/2047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2047/2047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2047 ÷ 212
    2047 ÷ 4096     		x = 0.499755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2047 ÷ 212
    2047 ÷ 4096     		y = 0.499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499755859375 × 2 - 1) × π
    -0.00048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00153398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499755859375 × 2 - 1) × π
    0.00048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0015339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00153398} λ = -0.00153398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0015339807878418))-π/2
    2×atan(1.0015351579382)-π/2
    2×0.786165153490569-π/2
    1.57233030698114-1.57079632675     		φ = 0.00153398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00153398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00153398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.087891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2047 KachelY 2047 -0.00153398 0.00153398 -0.087891 0.087891
    Oben rechts KachelX + 1 2048 KachelY 2047 0.00000000 0.00153398 0.000000 0.087891
    Unten links KachelX 2047 KachelY + 1 2048 -0.00153398 0.00000000 -0.087891 0.000000
    Unten rechts KachelX + 1 2048 KachelY + 1 2048 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00153398-0.00000000) × R
    0.00153398 × 6371000     		dl = 9772.98658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00153398-0.00000000) × R
    0.00153398 × 6371000     		dr = 9772.98658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00153398-0.00000000) × cos(0.00153398) × R
    0.00153398 × 0.99999882345291 × 6371000     		do = 9772.97508162108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00153398-0.00000000) × cos(0.00000000) × R
    0.00153398 × 1 × 6371000     		du = 9772.98658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00153398)-sin(0.00000000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999882345291-1)×R²
    abs(0.00000000--0.00153398)×1.17654708953197e-06×R²
    0.00153398×1.17654708953197e-06×6371000²
    0.00153398×1.17654708953197e-06×40589641000000     		ar = 95511229.2350229m²