Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2079 / 2082
↖ ↑ ↗
← S  2.986928°
E  2.724609°		 ← 9 759.77 m → S  2.986928°
E  2.812500°		 →
↑
9 759.29 m
↓
↑
9 759.29 m
↓
S  3.074695°
E  2.724609°		 ← 9 758.98 m →
95 244 602 m²		 S  3.074695°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5076904296875 y=0.5084228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5076904296875 × 212)
    floor (0.5076904296875 × 4096)
    floor (2079.5)     		tx = 2079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5084228515625 × 212)
    floor (0.5084228515625 × 4096)
    floor (2082.5)     		ty = 2082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2079 / 2082 ti = "12/2079/2082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2079/2082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2079 ÷ 212
    2079 ÷ 4096     		x = 0.507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2082 ÷ 212
    2082 ÷ 4096     		y = 0.50830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507568359375 × 2 - 1) × π
    0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    -0.0166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04755340} λ = 0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0521553467866211))-π/2
    2×atan(0.949181403108284)-π/2
    2×0.75933230463234-π/2
    1.51866460926468-1.57079632675     		φ = -0.05213172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05213172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.986928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2079 KachelY 2082 0.04755340 -0.05213172 2.724609 -2.986928
    Oben rechts KachelX + 1 2080 KachelY 2082 0.04908739 -0.05213172 2.812500 -2.986928
    Unten links KachelX 2079 KachelY + 1 2083 0.04755340 -0.05366355 2.724609 -3.074695
    Unten rechts KachelX + 1 2080 KachelY + 1 2083 0.04908739 -0.05366355 2.812500 -3.074695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05213172--0.05366355) × R
    0.00153183 × 6371000     		dl = 9759.28892999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05213172--0.05366355) × R
    0.00153183 × 6371000     		dr = 9759.28892999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04755340-0.04908739) × cos(-0.05213172) × R
    0.00153399 × 0.998641449606272 × 6371000     		do = 9759.77310868059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04755340-0.04908739) × cos(-0.05366355) × R
    0.00153399 × 0.998560457213916 × 6371000     		du = 9758.98156595699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05213172)-sin(-0.05366355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998641449606272-0.998560457213916)×R²
    abs(0.04908739-0.04755340)×8.09923923561495e-05×R²
    0.00153399×8.09923923561495e-05×6371000²
    0.00153399×8.09923923561495e-05×40589641000000     		ar = 95244601.8361021m²