Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 208 / 208
↖ ↑ ↗
← S 74.019543°
E112.500000°		 ← 43.050 km → S 74.019543°
E113.906250°		 →
↑
42.545 km
↓
↑
42.545 km
↓
S 74.402163°
E112.500000°		 ← 42.045 km →
1 810.19 km²		 S 74.402163°
E113.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814453125 y=0.814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814453125 × 28)
    floor (0.814453125 × 256)
    floor (208.5)     		tx = 208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.814453125 × 28)
    floor (0.814453125 × 256)
    floor (208.5)     		ty = 208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 208 / 208 ti = "8/208/208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/208/208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 208 ÷ 28
    208 ÷ 256     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 208 ÷ 28
    208 ÷ 256     		y = 0.8125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8125 × 2 - 1) × π
    -0.625 × 3.1415926535     		Φ = -1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.9634954084375))-π/2
    2×atan(0.140366922701998)-π/2
    2×0.139455792601043-π/2
    0.278911585202086-1.57079632675     		φ = -1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 208 KachelY 208 1.96349541 -1.29188474 112.500000 -74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 209 KachelY 208 1.98803910 -1.29188474 113.906250 -74.019543
    Unten links KachelX 208 KachelY + 1 209 1.96349541 -1.29856271 112.500000 -74.402163
    Unten rechts KachelX + 1 209 KachelY + 1 209 1.98803910 -1.29856271 113.906250 -74.402163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29188474--1.29856271) × R
    0.00667796999999992 × 6371000     		dl = 42545.3468699995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29188474--1.29856271) × R
    0.00667796999999992 × 6371000     		dr = 42545.3468699995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-1.98803910) × cos(-1.29188474) × R
    0.02454369 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 43049.5480119649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-1.98803910) × cos(-1.29856271) × R
    0.02454369 × 0.268883464392247 × 6371000     		du = 42044.7289559949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29188474)-sin(-1.29856271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.268883464392247)×R²
    abs(1.98803910-1.96349541)×0.00642599525708237×R²
    0.02454369×0.00642599525708237×6371000²
    0.02454369×0.00642599525708237×40589641000000     		ar = 1810189492.29117m²