Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2082 / 2018
↖ ↑ ↗
← N  2.635789°
E  2.988281°		 ← 9 762.65 m → N  2.635789°
E  3.076172°		 →
↑
9 762.98 m
↓
↑
9 762.98 m
↓
N  2.547988°
E  2.988281°		 ← 9 763.32 m →
95 315 894 m²		 N  2.547988°
E  3.076172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5084228515625 y=0.4927978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5084228515625 × 212)
    floor (0.5084228515625 × 4096)
    floor (2082.5)     		tx = 2082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4927978515625 × 212)
    floor (0.4927978515625 × 4096)
    floor (2018.5)     		ty = 2018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2082 / 2018 ti = "12/2082/2018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2082/2018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2082 ÷ 212
    2082 ÷ 4096     		x = 0.50830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2018 ÷ 212
    2018 ÷ 4096     		y = 0.49267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05215535} λ = 0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0460194236352539))-π/2
    2×atan(1.0470947491459)-π/2
    2×0.808399757899618-π/2
    1.61679951579924-1.57079632675     		φ = 0.04600319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04600319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.635789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2082 KachelY 2018 0.05215535 0.04600319 2.988281 2.635789
    Oben rechts KachelX + 1 2083 KachelY 2018 0.05368933 0.04600319 3.076172 2.635789
    Unten links KachelX 2082 KachelY + 1 2019 0.05215535 0.04447078 2.988281 2.547988
    Unten rechts KachelX + 1 2083 KachelY + 1 2019 0.05368933 0.04447078 3.076172 2.547988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04600319-0.04447078) × R
    0.00153241 × 6371000     		dl = 9762.98410999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04600319-0.04447078) × R
    0.00153241 × 6371000     		dr = 9762.98410999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05215535-0.05368933) × cos(0.04600319) × R
    0.00153398 × 0.998942039854171 × 6371000     		do = 9762.64714969262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05215535-0.05368933) × cos(0.04447078) × R
    0.00153398 × 0.999011337814879 × 6371000     		du = 9763.32439773264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04600319)-sin(0.04447078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998942039854171-0.999011337814879)×R²
    abs(0.05368933-0.05215535)×6.92979607079813e-05×R²
    0.00153398×6.92979607079813e-05×6371000²
    0.00153398×6.92979607079813e-05×40589641000000     		ar = 95315893.6272834m²