Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2085 / 2083
↖ ↑ ↗
← S  3.074695°
E  3.251953°		 ← 9 758.92 m → S  3.074695°
E  3.339844°		 →
↑
9 758.52 m
↓
↑
9 758.52 m
↓
S  3.162455°
E  3.251953°		 ← 9 758.10 m →
95 228 684 m²		 S  3.162455°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5091552734375 y=0.5086669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5091552734375 × 212)
    floor (0.5091552734375 × 4096)
    floor (2085.5)     		tx = 2085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5086669921875 × 212)
    floor (0.5086669921875 × 4096)
    floor (2083.5)     		ty = 2083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2085 / 2083 ti = "12/2085/2083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2085/2083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2085 ÷ 212
    2085 ÷ 4096     		x = 0.509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2083 ÷ 212
    2083 ÷ 4096     		y = 0.508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509033203125 × 2 - 1) × π
    0.01806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05675729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.01708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05675729} λ = 0.05675729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0536893275744629))-π/2
    2×atan(0.947726493258913)-π/2
    2×0.758566387144366-π/2
    1.51713277428873-1.57079632675     		φ = -0.05366355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05675729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05366355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.074695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2085 KachelY 2083 0.05675729 -0.05366355 3.251953 -3.074695
    Oben rechts KachelX + 1 2086 KachelY 2083 0.05829127 -0.05366355 3.339844 -3.074695
    Unten links KachelX 2085 KachelY + 1 2084 0.05675729 -0.05519526 3.251953 -3.162455
    Unten rechts KachelX + 1 2086 KachelY + 1 2084 0.05829127 -0.05519526 3.339844 -3.162455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05366355--0.05519526) × R
    0.00153171000000001 × 6371000     		dl = 9758.52441000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05366355--0.05519526) × R
    0.00153171000000001 × 6371000     		dr = 9758.52441000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05675729-0.05829127) × cos(-0.05366355) × R
    0.00153398 × 0.998560457213916 × 6371000     		do = 9758.91794767025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05675729-0.05829127) × cos(-0.05519526) × R
    0.00153398 × 0.998477128316837 × 6371000     		du = 9758.10357547737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05366355)-sin(-0.05519526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998560457213916-0.998477128316837)×R²
    abs(0.05829127-0.05675729)×8.33288970792934e-05×R²
    0.00153398×8.33288970792934e-05×6371000²
    0.00153398×8.33288970792934e-05×40589641000000     		ar = 95228684.0903501m²