Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2097 / 2095
↖ ↑ ↗
← S  4.127285°
E  4.306641°		 ← 9 747.64 m → S  4.127285°
E  4.394531°		 →
↑
9 747.12 m
↓
↑
9 747.12 m
↓
S  4.214943°
E  4.306641°		 ← 9 746.55 m →
95 006 153 m²		 S  4.214943°
E  4.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5120849609375 y=0.5115966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5120849609375 × 212)
    floor (0.5120849609375 × 4096)
    floor (2097.5)     		tx = 2097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5115966796875 × 212)
    floor (0.5115966796875 × 4096)
    floor (2095.5)     		ty = 2095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2097 / 2095 ti = "12/2097/2095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2097/2095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2097 ÷ 212
    2097 ÷ 4096     		x = 0.511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2095 ÷ 212
    2095 ÷ 4096     		y = 0.511474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511962890625 × 2 - 1) × π
    0.02392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07516506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511474609375 × 2 - 1) × π
    -0.02294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0720970970285645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07516506} λ = 0.07516506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0720970970285645))-π/2
    2×atan(0.930440548412538)-π/2
    2×0.749380804368541-π/2
    1.49876160873708-1.57079632675     		φ = -0.07203472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07516506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07203472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.127285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2097 KachelY 2095 0.07516506 -0.07203472 4.306641 -4.127285
    Oben rechts KachelX + 1 2098 KachelY 2095 0.07669904 -0.07203472 4.394531 -4.127285
    Unten links KachelX 2097 KachelY + 1 2096 0.07516506 -0.07356464 4.306641 -4.214943
    Unten rechts KachelX + 1 2098 KachelY + 1 2096 0.07669904 -0.07356464 4.394531 -4.214943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07203472--0.07356464) × R
    0.00152992 × 6371000     		dl = 9747.12032000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07203472--0.07356464) × R
    0.00152992 × 6371000     		dr = 9747.12032000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07516506-0.07669904) × cos(-0.07203472) × R
    0.00153397999999999 × 0.997406621268651 × 6371000     		do = 9747.64152446161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07516506-0.07669904) × cos(-0.07356464) × R
    0.00153397999999999 × 0.9972953419468 × 6371000     		du = 9746.55399314253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07203472)-sin(-0.07356464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997406621268651-0.9972953419468)×R²
    abs(0.07669904-0.07516506)×0.000111279321851177×R²
    0.00153397999999999×0.000111279321851177×6371000²
    0.00153397999999999×0.000111279321851177×40589641000000     		ar = 95006153.1572347m²