Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2100 / 2036
↖ ↑ ↗
← N  1.054628°
E  4.570312°		 ← 9 771.33 m → N  1.054628°
E  4.658203°		 →
↑
9 771.46 m
↓
↑
9 771.46 m
↓
N  0.966751°
E  4.570312°		 ← 9 771.60 m →
95 481 457 m²		 N  0.966751°
E  4.658203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5128173828125 y=0.4971923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5128173828125 × 212)
    floor (0.5128173828125 × 4096)
    floor (2100.5)     		tx = 2100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4971923828125 × 212)
    floor (0.4971923828125 × 4096)
    floor (2036.5)     		ty = 2036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2100 / 2036 ti = "12/2100/2036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2100/2036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2100 ÷ 212
    2100 ÷ 4096     		x = 0.5126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2036 ÷ 212
    2036 ÷ 4096     		y = 0.4970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5126953125 × 2 - 1) × π
    0.025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07976700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    0.005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07976700} λ = 0.07976700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0184077694541016))-π/2
    2×atan(1.01857823681037)-π/2
    2×0.794601528385309-π/2
    1.58920305677062-1.57079632675     		φ = 0.01840673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07976700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01840673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.054628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2100 KachelY 2036 0.07976700 0.01840673 4.570312 1.054628
    Oben rechts KachelX + 1 2101 KachelY 2036 0.08130098 0.01840673 4.658203 1.054628
    Unten links KachelX 2100 KachelY + 1 2037 0.07976700 0.01687299 4.570312 0.966751
    Unten rechts KachelX + 1 2101 KachelY + 1 2037 0.08130098 0.01687299 4.658203 0.966751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01840673-0.01687299) × R
    0.00153374 × 6371000     		dl = 9771.45753999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01840673-0.01687299) × R
    0.00153374 × 6371000     		dr = 9771.45753999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07976700-0.08130098) × cos(0.01840673) × R
    0.00153397999999999 × 0.999830600928244 × 6371000     		do = 9771.331045145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07976700-0.08130098) × cos(0.01687299) × R
    0.00153397999999999 × 0.999857654481399 × 6371000     		du = 9771.59543915693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01840673)-sin(0.01687299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999830600928244-0.999857654481399)×R²
    abs(0.08130098-0.07976700)×2.7053553155465e-05×R²
    0.00153397999999999×2.7053553155465e-05×6371000²
    0.00153397999999999×2.7053553155465e-05×40589641000000     		ar = 95481456.8915667m²