Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2110 / 2114
↖ ↑ ↗
← S  5.790897°
E  5.449219°		 ← 9 723.11 m → S  5.790897°
E  5.537109°		 →
↑
9 722.34 m
↓
↑
9 722.34 m
↓
S  5.878332°
E  5.449219°		 ← 9 721.60 m →
94 524 027 m²		 S  5.878332°
E  5.537109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5152587890625 y=0.5162353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5152587890625 × 212)
    floor (0.5152587890625 × 4096)
    floor (2110.5)     		tx = 2110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5162353515625 × 212)
    floor (0.5162353515625 × 4096)
    floor (2114.5)     		ty = 2114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2110 / 2114 ti = "12/2110/2114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2110/2114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2110 ÷ 212
    2110 ÷ 4096     		x = 0.51513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2114 ÷ 212
    2114 ÷ 4096     		y = 0.51611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51513671875 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    -0.0322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.101242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09510681} λ = 0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.101242731997559))-π/2
    2×atan(0.903713646042313)-π/2
    2×0.734863055384957-π/2
    1.46972611076991-1.57079632675     		φ = -0.10107022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10107022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.790897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2110 KachelY 2114 0.09510681 -0.10107022 5.449219 -5.790897
    Oben rechts KachelX + 1 2111 KachelY 2114 0.09664079 -0.10107022 5.537109 -5.790897
    Unten links KachelX 2110 KachelY + 1 2115 0.09510681 -0.10259625 5.449219 -5.878332
    Unten rechts KachelX + 1 2111 KachelY + 1 2115 0.09664079 -0.10259625 5.537109 -5.878332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10107022--0.10259625) × R
    0.00152603 × 6371000     		dl = 9722.33712999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10107022--0.10259625) × R
    0.00152603 × 6371000     		dr = 9722.33712999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09510681-0.09664079) × cos(-0.10107022) × R
    0.00153398 × 0.99489675175493 × 6371000     		do = 9723.11260338655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09510681-0.09664079) × cos(-0.10259625) × R
    0.00153398 × 0.994741619643338 × 6371000     		du = 9721.59649934183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10107022)-sin(-0.10259625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99489675175493-0.994741619643338)×R²
    abs(0.09664079-0.09510681)×0.000155132111592238×R²
    0.00153398×0.000155132111592238×6371000²
    0.00153398×0.000155132111592238×40589641000000     		ar = 94524026.9894598m²