Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2111 / 2113
↖ ↑ ↗
← S  5.703448°
E  5.537109°		 ← 9 724.61 m → S  5.703448°
E  5.625000°		 →
↑
9 723.87 m
↓
↑
9 723.87 m
↓
S  5.790897°
E  5.537109°		 ← 9 723.11 m →
94 553 526 m²		 S  5.790897°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5155029296875 y=0.5159912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5155029296875 × 212)
    floor (0.5155029296875 × 4096)
    floor (2111.5)     		tx = 2111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5159912109375 × 212)
    floor (0.5159912109375 × 4096)
    floor (2113.5)     		ty = 2113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2111 / 2113 ti = "12/2111/2113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2111/2113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2111 ÷ 212
    2111 ÷ 4096     		x = 0.515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2113 ÷ 212
    2113 ÷ 4096     		y = 0.515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515380859375 × 2 - 1) × π
    0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.03173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09664079} λ = 0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0997087512097168))-π/2
    2×atan(0.905100989219897)-π/2
    2×0.735626190396498-π/2
    1.471252380793-1.57079632675     		φ = -0.09954395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09954395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.703448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2111 KachelY 2113 0.09664079 -0.09954395 5.537109 -5.703448
    Oben rechts KachelX + 1 2112 KachelY 2113 0.09817477 -0.09954395 5.625000 -5.703448
    Unten links KachelX 2111 KachelY + 1 2114 0.09664079 -0.10107022 5.537109 -5.790897
    Unten rechts KachelX + 1 2112 KachelY + 1 2114 0.09817477 -0.10107022 5.625000 -5.790897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09954395--0.10107022) × R
    0.00152627 × 6371000     		dl = 9723.86616999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09954395--0.10107022) × R
    0.00152627 × 6371000     		dr = 9723.86616999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09664079-0.09817477) × cos(-0.09954395) × R
    0.00153397999999999 × 0.995049590834831 × 6371000     		do = 9724.60629766323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09664079-0.09817477) × cos(-0.10107022) × R
    0.00153397999999999 × 0.99489675175493 × 6371000     		du = 9723.11260338646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09954395)-sin(-0.10107022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995049590834831-0.99489675175493)×R²
    abs(0.09817477-0.09664079)×0.000152839079900935×R²
    0.00153397999999999×0.000152839079900935×6371000²
    0.00153397999999999×0.000152839079900935×40589641000000     		ar = 94553526.3079984m²