Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2115 / 2117
↖ ↑ ↗
← S  6.053161°
E  5.888672°		 ← 9 718.50 m → S  6.053161°
E  5.976562°		 →
↑
9 717.75 m
↓
↑
9 717.75 m
↓
S  6.140555°
E  5.888672°		 ← 9 716.91 m →
94 434 251 m²		 S  6.140555°
E  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5164794921875 y=0.5169677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5164794921875 × 212)
    floor (0.5164794921875 × 4096)
    floor (2115.5)     		tx = 2115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5169677734375 × 212)
    floor (0.5169677734375 × 4096)
    floor (2117.5)     		ty = 2117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2115 / 2117 ti = "12/2115/2117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2115/2117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2115 ÷ 212
    2115 ÷ 4096     		x = 0.516357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2117 ÷ 212
    2117 ÷ 4096     		y = 0.516845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516357421875 × 2 - 1) × π
    0.03271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10277671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.03369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.105844674361084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10277671} λ = 0.10277671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.105844674361084))-π/2
    2×atan(0.899564362634389)-π/2
    2×0.732574366016704-π/2
    1.46514873203341-1.57079632675     		φ = -0.10564759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10277671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10564759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.053161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2115 KachelY 2117 0.10277671 -0.10564759 5.888672 -6.053161
    Oben rechts KachelX + 1 2116 KachelY 2117 0.10431069 -0.10564759 5.976562 -6.053161
    Unten links KachelX 2115 KachelY + 1 2118 0.10277671 -0.10717290 5.888672 -6.140555
    Unten rechts KachelX + 1 2116 KachelY + 1 2118 0.10431069 -0.10717290 5.976562 -6.140555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10564759--0.10717290) × R
    0.00152531 × 6371000     		dl = 9717.75001000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10564759--0.10717290) × R
    0.00152531 × 6371000     		dr = 9717.75001000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10277671-0.10431069) × cos(-0.10564759) × R
    0.00153398 × 0.994424482147217 × 6371000     		do = 9718.49711884823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10277671-0.10431069) × cos(-0.10717290) × R
    0.00153398 × 0.994262479685944 × 6371000     		du = 9716.91387096828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10564759)-sin(-0.10717290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994424482147217-0.994262479685944)×R²
    abs(0.10431069-0.10277671)×0.000162002461273847×R²
    0.00153398×0.000162002461273847×6371000²
    0.00153398×0.000162002461273847×40589641000000     		ar = 94434250.9793186m²