Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2144 / 2144
↖ ↑ ↗
← S  8.407168°
E  8.437500°		 ← 9 667.97 m → S  8.407168°
E  8.525391°		 →
↑
9 666.85 m
↓
↑
9 666.85 m
↓
S  8.494104°
E  8.437500°		 ← 9 665.79 m →
93 448 226 m²		 S  8.494104°
E  8.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5235595703125 y=0.5235595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5235595703125 × 212)
    floor (0.5235595703125 × 4096)
    floor (2144.5)     		tx = 2144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5235595703125 × 212)
    floor (0.5235595703125 × 4096)
    floor (2144.5)     		ty = 2144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2144 / 2144 ti = "12/2144/2144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2144/2144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2144 ÷ 212
    2144 ÷ 4096     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2144 ÷ 212
    2144 ÷ 4096     		y = 0.5234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5234375 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.147262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147262155632813))-π/2
    2×atan(0.863067689699962)-π/2
    2×0.712031780787688-π/2
    1.42406356157538-1.57079632675     		φ = -0.14673277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14673277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.407168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2144 KachelY 2144 0.14726216 -0.14673277 8.437500 -8.407168
    Oben rechts KachelX + 1 2145 KachelY 2144 0.14879614 -0.14673277 8.525391 -8.407168
    Unten links KachelX 2144 KachelY + 1 2145 0.14726216 -0.14825009 8.437500 -8.494104
    Unten rechts KachelX + 1 2145 KachelY + 1 2145 0.14879614 -0.14825009 8.525391 -8.494104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14673277--0.14825009) × R
    0.00151731999999999 × 6371000     		dl = 9666.84571999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14673277--0.14825009) × R
    0.00151731999999999 × 6371000     		dr = 9666.84571999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.14879614) × cos(-0.14673277) × R
    0.00153397999999999 × 0.989254048358907 × 6371000     		do = 9667.96653882221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.14879614) × cos(-0.14825009) × R
    0.00153397999999999 × 0.989031067185378 × 6371000     		du = 9665.78734680572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14673277)-sin(-0.14825009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989254048358907-0.989031067185378)×R²
    abs(0.14879614-0.14726216)×0.000222981173528813×R²
    0.00153397999999999×0.000222981173528813×6371000²
    0.00153397999999999×0.000222981173528813×40589641000000     		ar = 93448225.9289157m²