Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2175 / 2175
↖ ↑ ↗
← S 11.092166°
E 11.162109°		 ← 9 590.42 m → S 11.092166°
E 11.250000°		 →
↑
9 588.99 m
↓
↑
9 588.99 m
↓
S 11.178402°
E 11.162109°		 ← 9 587.58 m →
91 948 832 m²		 S 11.178402°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5311279296875 y=0.5311279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5311279296875 × 212)
    floor (0.5311279296875 × 4096)
    floor (2175.5)     		tx = 2175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5311279296875 × 212)
    floor (0.5311279296875 × 4096)
    floor (2175.5)     		ty = 2175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2175 / 2175 ti = "12/2175/2175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2175/2175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2175 ÷ 212
    2175 ÷ 4096     		x = 0.531005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2175 ÷ 212
    2175 ÷ 4096     		y = 0.531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531005859375 × 2 - 1) × π
    0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531005859375 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.194815560055908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19481556} λ = 0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194815560055908))-π/2
    2×atan(0.822986435630841)-π/2
    2×0.688600755390666-π/2
    1.37720151078133-1.57079632675     		φ = -0.19359482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19359482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.092166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2175 KachelY 2175 0.19481556 -0.19359482 11.162109 -11.092166
    Oben rechts KachelX + 1 2176 KachelY 2175 0.19634954 -0.19359482 11.250000 -11.092166
    Unten links KachelX 2175 KachelY + 1 2176 0.19481556 -0.19509992 11.162109 -11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 2176 KachelY + 1 2176 0.19634954 -0.19509992 11.250000 -11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19359482--0.19509992) × R
    0.00150510000000001 × 6371000     		dl = 9588.99210000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19359482--0.19509992) × R
    0.00150510000000001 × 6371000     		dr = 9588.99210000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19481556-0.19634954) × cos(-0.19359482) × R
    0.00153397999999999 × 0.981318977765296 × 6371000     		do = 9590.4172003995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19481556-0.19634954) × cos(-0.19509992) × R
    0.00153397999999999 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 9587.57644470603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19359482)-sin(-0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981318977765296-0.981028303500043)×R²
    abs(0.19634954-0.19481556)×0.00029067426525331×R²
    0.00153397999999999×0.00029067426525331×6371000²
    0.00153397999999999×0.00029067426525331×40589641000000     		ar = 91948832.1362243m²