Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2176 / 2176
↖ ↑ ↗
← S 11.178402°
E 11.250000°		 ← 9 587.58 m → S 11.178402°
E 11.337891°		 →
↑
9 586.13 m
↓
↑
9 586.13 m
↓
S 11.264612°
E 11.250000°		 ← 9 584.71 m →
91 894 009 m²		 S 11.264612°
E 11.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5313720703125 y=0.5313720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5313720703125 × 212)
    floor (0.5313720703125 × 4096)
    floor (2176.5)     		tx = 2176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5313720703125 × 212)
    floor (0.5313720703125 × 4096)
    floor (2176.5)     		ty = 2176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2176 / 2176 ti = "12/2176/2176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2176/2176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2176 ÷ 212
    2176 ÷ 4096     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2176 ÷ 212
    2176 ÷ 4096     		y = 0.53125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53125 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Φ = -0.19634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19634954084375))-π/2
    2×atan(0.821724958038489)-π/2
    2×0.687848204496514-π/2
    1.37569640899303-1.57079632675     		φ = -0.19509992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19509992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.178402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2176 KachelY 2176 0.19634954 -0.19509992 11.250000 -11.178402
    Oben rechts KachelX + 1 2177 KachelY 2176 0.19788352 -0.19509992 11.337891 -11.178402
    Unten links KachelX 2176 KachelY + 1 2177 0.19634954 -0.19660457 11.250000 -11.264612
    Unten rechts KachelX + 1 2177 KachelY + 1 2177 0.19788352 -0.19660457 11.337891 -11.264612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19509992--0.19660457) × R
    0.00150465 × 6371000     		dl = 9586.12514999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19509992--0.19660457) × R
    0.00150465 × 6371000     		dr = 9586.12514999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.19788352) × cos(-0.19509992) × R
    0.00153398000000002 × 0.981028303500043 × 6371000     		do = 9587.5764447062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.19788352) × cos(-0.19660457) × R
    0.00153398000000002 × 0.980735494789576 × 6371000     		du = 9584.7148291083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19509992)-sin(-0.19660457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981028303500043-0.980735494789576)×R²
    abs(0.19788352-0.19634954)×0.000292808710466774×R²
    0.00153398000000002×0.000292808710466774×6371000²
    0.00153398000000002×0.000292808710466774×40589641000000     		ar = 91894009.1186388m²